¿Qué es una función de potencia? – Definición, ecuaciones, gráficos y ejemplos

Funciones de potencia

Savanna está estudiando las trayectorias de asteroides, cometas y otros cuerpos que vuelan por el espacio. Ella nota que a medida que cierto cometa se acerca a la tierra, la trayectoria del cometa se curva y se aleja. Savanna quiere crear funciones matemáticas de las trayectorias de cometas y asteroides a medida que se acercan a la Tierra. De esta manera, puede predecir la trayectoria de ciertos cometas y asteroides. Savanna puede usar su conocimiento de las funciones de poder para crear ecuaciones basadas en los caminos de los cometas.

Una función de potencia tiene la forma f (x) = kx ^ n , donde k = todos los números reales yn = todos los números reales. Puede cambiar la forma de la gráfica de una función de potencia se ve cambiando los valores de k y n .

Si n es mayor que cero, entonces la función es proporcional a la n- ésima potencia de x . Esto básicamente significa que los dos gráficos se verían iguales. Aquí hay un gráfico que muestra x ^ 4:

Entonces, en este gráfico, n es mayor que cero. Aquí está la gráfica de f (x) = x ^ 4. No hay diferencia entre los dos gráficos.

Si n es menor que cero, entonces la función es inversamente proporcional a la n- ésima potencia de x . Eso significa que verá el gráfico como invertido. Veamos nuevamente nuestra gráfica de x ^ 4.

Ahora veamos la gráfica de x ^ -4. Observe que esta gráfica tiene un espacio vacío cerca del origen. Casi crea una sección recortada.

En una función de potencia, k representa la constante de proporcionalidad. Esto significa que la forma de la línea en el gráfico no cambiará dependiendo del valor de k , pero la ubicación de la línea en el gráfico cambiará. Eche un vistazo a este gráfico para ver a qué me refiero.

La línea azul en este gráfico es la ecuación f (x) = x ^ 3, y la línea verde es la ecuación f (x) = 5 x ^ 3. Observe que cuando sumamos el 5 delante de la x , la forma de la gráfica permanece igual, pero la línea se acerca al origen.

Estos conceptos se volverán más importantes a medida que estudie cálculo, pero debe tenerlos en cuenta al explorar las funciones de potencia.

Gráficos de funciones de potencia

Esta es la gráfica de f (x) = x ^ 2. Probablemente hayas visto mucho este tipo de función; la forma que crea es una parábola. En este gráfico, k = 1 y n = 2.

Esta es la gráfica de f (x) = – x ^ 2. Aquí k = -1 yn = 2. Observe que esta gráfica es opuesta a la primera gráfica que vio. Lo único que cambió en la ecuación es el signo negativo en el valor k . A menudo, el signo negativo indicará lo contrario o lo contrario.

Estos tipos de funciones, funciones que contienen el valor x ^ 2, se denominan funciones cuadráticas.

Aquí hay una gráfica de la función f (x) = x ^ 4. Observe que la parte inferior de esta función se ensancha, pero nunca cruza el eje x . Esto significa que todas las coordenadas y de esta función son positivas.

Veamos qué sucede cuando hacemos n negativo en esta función. Esta vez, las líneas del gráfico se dividen en dos secciones, pero la línea aún no cruza el eje x . Esta es la gráfica de f (x) = x ^ -4.

Savanna está estudiando los cometas que van directamente hacia la tierra, se desvían hacia un lado y luego continúan en línea recta más allá de la tierra. Probablemente esté mirando cometas que hacen el camino f (x) = x ^ 3. Eche un vistazo a este gráfico y compruebe si coincide con la descripción de Savanna.

Se ve bastante cerca, ¿eh? ¿Qué pasa con la función f (x) = x ^ -3? ¿Cómo se vería ese gráfico?

¡Guauu! Observe que, al igual que las otras gráficas que tenían exponentes negativos, las líneas en la gráfica se separan en dos direcciones diferentes.

Sin embargo, a diferencia del gráfico f (x) = x ^ -4, que se muestra con líneas azules, el gráfico de f (x) = x ^ -3, que se muestra con líneas verdes, tiene coordenadas y negativas . Esto se debe a que la potencia en esta función es impar, lo que le dará un resultado negativo.

Se dará cuenta de que funciona con una potencia par son simétricos a través de la Y eje x y funciona con una potencia impar son simétricas respecto al origen. Puede obtener más información sobre la simetría en el capítulo Simetría gráfica de este curso.

Funciones de potencia fraccional

Savanna ahora está estudiando el camino de los asteroides. Esta vez, necesita encontrar la diferencia entre los asteroides que pasan por la tierra y los asteroides que chocan con la tierra. Tiene dos asteroides diferentes que está estudiando. El primero tiene la función de f (x) = x ^ 1/3, y el segundo asteroide tiene la función de f (x) = x ^ 1/4.

Esta es la gráfica de f (x) = x ^ 1/3. Verá que la línea en este gráfico va desde el lado positivo, las curvas y luego al lado negativo del gráfico. Podemos suponer que el asteroide que crea este camino no chocará con la Tierra.

Esta es la gráfica de f (x) = x ^ 1/4. Verá que la línea en este gráfico va desde el lado positivo y se detiene en el origen. Podemos suponer que el asteroide que crea este camino chocará con la Tierra.

Ahora que hemos analizado las funciones de potencia fraccionarias positivas, veamos algunas funciones de potencia fraccionarias negativas.

El primer gráfico, representado con líneas verdes, es la función f (x) = x ^ -3 / 5. El segundo gráfico, representado con una línea azul, es la función f (x) = x ^ -1 / 4. Observe que la función con el denominador par está ubicada solo en el lado positivo de los ejes x e y .

Observe que estas dos funciones, f (x) = x ^ -4 y f (x) = x ^ -1 / 4, se ven muy similares.

Observe que las únicas diferencias en estos gráficos son las posiciones de las curvas de las líneas. Verás que todos los números en las potencias de las dos funciones son números impares.

Por último, debemos considerar las funciones que tienen potencias con fracciones impropias, como esta gráfica. Observe que este gráfico no contiene ninguna coordenada x o y negativa. Este gráfico representa la función f (x) = x ^ 5/2.

Ahora que ha visto todos estos gráficos, ¿cómo puede recordar qué funciones van con cuáles? Resumamos.

Resumen de la lección

Una función de potencia aparece en la forma f (x) = kx ^ n , donde k = todos los números reales yn = todos los números reales. Los tres tipos principales de funciones de potencia son funciones pares, impares y fraccionales. Los verá tanto en formas positivas como negativas.

Aquí están las gráficas de las funciones f (x) = x ^ 2 y f (x) = x ^ 4. Estos gráficos tienen una forma similar porque ambos tienen poderes positivos e incluso.

Estos gráficos son similares porque ambos contienen números impares positivos en sus potencias. El primer gráfico representa la función f (x) = x ^ 3, y el segundo gráfico representa f (x) = x ^ 5/2.

Observe que estos gráficos tienen una bonita curva inclinada cerca del origen. Estas gráficas son similares porque todas tienen potencias fraccionarias positivas.

Aquí están las gráficas de las funciones f (x) = x ^ -4, f (x) = x ^ -3, f (x) = x ^ -3 / 5 y f (x) = x ^ -1 / 4. Estas funciones son similares porque tienen poderes negativos.

Además, no olvide cuando esté graficando funciones de potencia para graficar con una línea curva.

Los resultados del aprendizaje

Mire esta lección en video mientras persigue estos objetivos:

• Definir y utilizar funciones de potencia
• Recuerde la forma de la ecuación para una función de potencia y escriba tres tipos principales
• Identifique con precisión si un gráfico es una función potenciada par o impar
• Grafica una función de potencia

Rodrigo Ricardo Editor y fundador