Resolución de problemas con ángulos de elevación y depresión

Elevación y depresión

¡Rápido! ¿Qué tienen en común los aviones estrellados, los remontes mecánicos y mirar a la gente desde lo alto de una colina?

La respuesta: ¡puedes hacer modelos matemáticos de todos ellos con ángulos de elevación y depresión! Si una persona está de pie en el suelo, mirando hacia algo en el cielo, el ángulo de elevación es el ángulo formado entre la línea de visión de la persona y el suelo. Para una persona que mira hacia abajo a algo desde un punto más alto, el ángulo de depresión es el ángulo entre la línea de visión de la persona y una línea horizontal imaginaria paralela al suelo.

En esta lección, resolverá algunos problemas del mundo real con ángulos de elevación y depresión.

También usaremos las relaciones trigonométricas básicas, abreviadas SOH-CAH-TOA:

• El seno de un ángulo es igual al lado opuesto sobre la hipotenusa
• El coseno de un ángulo es igual al lado adyacente sobre la hipotenusa
• La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente

Si no tiene idea de qué es todo eso, primero revise esas relaciones y luego sumérjase en la resolución de problemas con ángulos de elevación y depresión.

Problema de ejemplo 1

Primero que nada, ¡aterricemos un avión!

Estás trabajando en el control del tráfico aéreo y un avión está a punto de realizar un aterrizaje de emergencia en tu aeropuerto. Tú eres el encargado de despejar la parte de la pista en la que el avión necesita aterrizar. El ángulo de depresión del avión es de 30 grados, como se muestra en la imagen. El avión se encuentra actualmente a 10,000 pies sobre el suelo y aún no ha sobrepasado la pista. ¿Llegará el avión a la pista antes de tocar el suelo y, de ser así, a cuántas millas del final de la pista aterrizará?

Empezaremos etiquetando lo que sabemos. El problema nos dice que el ángulo de depresión es de 30 grados. En otras palabras, si el piloto mirara hacia adelante por la ventana de la cabina, su mirada se inclinaría hacia abajo 30 grados por debajo de una línea horizontal imaginaria paralela al suelo.

Sabemos que el avión está a 10,000 pies de altura, por lo que podemos dibujar un triángulo con el avión en un punto.

Sabemos que w es 90 grados, lo que significa que el ángulo z debe ser 30 grados. Esto se ajusta a la regla de que el ángulo de elevación y el ángulo de depresión deben ser iguales. Si alguien estuviera imprudentemente parado en el suelo donde el avión está a punto de aterrizar y mirando hacia el avión, el ángulo de elevación de su mirada sería el mismo que el ángulo de depresión de la mirada del piloto; en este caso, ambos son 30 grados.

Ahora podemos utilizar las relaciones trigonométricas básicas para resolver para x e y porque gracias a la TOA en SOH-CAH-TOA, sabemos que la tangente del 30 debe ser igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, por lo que tan (30) = 10.000 / y .

Si resolvemos esto, encontramos que y = aproximadamente 17.331 pies, que son aproximadamente 3.3 millas. 2.5 millas de eso son pasto, por lo que el avión pasará más de 2.5 millas de pasto y 0.7 millas de pista antes de aterrizar 0.7 millas desde el final de la pista.

Problema de ejemplo 2

Bien, ahora que ha salvado el avión de estrellarse, decide retirarse y usar sus habilidades de geometría en un trabajo cómodo construyendo remontes para turistas ricos en Suiza. Este es tu próximo problema.

Ski Lift Corp quiere construir un telesquí en un ángulo de elevación de 30 grados hasta la cima de una montaña. Si la montaña tiene 4,000 pies de altura y su base se extiende 2,000 pies desde el pico en todas direcciones, ¿a qué distancia de la base de la montaña debe anclar el telesilla?

Podemos configurar esto como una ecuación usando trigonometría básica. Recuerde, el TOA en SOH-CAH-TOA nos dice que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, por lo que podemos establecer nuestra ecuación como tan (30) = 4,000 / ( x + 2,000).

Si resolvemos esta ecuación, calculamos que x es aproximadamente igual a 4.932. El constructor del telesilla debe colocar la parte inferior del telesilla aproximadamente a 4.932 pies de distancia de la montaña.

Resumen de la lección

En esta lección, resolvió algunos problemas con ángulos de elevación y depresión, utilizando las relaciones trigonométricas básicas de SOH-CAH-TOA. La terminología puede resultar un poco confusa, pero ayuda pensar en personas mirando hacia arriba y hacia abajo. Si una persona mira hacia abajo, el ángulo de depresión es cuántos grados su mirada está inclinada hacia abajo, en relación con una línea horizontal imaginaria. Si una persona está mirando hacia arriba, el ángulo de elevación es cuántos grados está inclinada su cabeza hacia arriba, en relación con el suelo.

Recuerde que si dos personas se miran entre sí, con la Persona A en el suelo y la Persona B encima de ellas, entonces el ángulo de elevación de la mirada de la Persona A es igual al ángulo de depresión de la mirada de la Persona B.

Ahora intente algunos problemas por su cuenta en el cuestionario.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador