Resolución de sistemas no lineales con ecuaciones cuadráticas y lineales
Sistemas de ecuaciones no lineales
¿Has ido alguna vez a un carnaval? No sé ustedes, ¡pero me encantan los carnavales! Imagina que vas a un carnaval y hay un puesto que da un premio si puedes resolver un acertijo numérico.
Realmente quieres ese premio, así que decides resolver el acertijo: encuentra dos números de modo que el cuadrado del primer número más el segundo te dé 9, y el primer número menos el segundo te dé 3. Piensas en algo que aprendido en la clase de matemáticas y date cuenta de que tienes toda la información que necesitas para resolver el rompecabezas. ¡Hurra!
Lo que recuerdas de la clase de matemáticas es que este rompecabezas numérico corresponde a un sistema de ecuaciones no lineal. Un sistema de ecuaciones no lineal es una colección de dos o más ecuaciones con las mismas variables y donde al menos una de las ecuaciones no es una ecuación lineal. ¡Rápidamente agarras una hoja de papel y un lápiz y te pones a trabajar!
Para configurar este sistema, hagamos que x sea igual al primer número ey igual al segundo número. Sabemos que el cuadrado del primer número, x 2 , más el segundo número, y , debe ser igual a 9. Establezcamos nuestra primera ecuación.
x 2 + y = 9
También sabemos que el primer número, x , menos el segundo número, y , debe ser igual a 3, como se muestra en nuestra segunda ecuación.
x – y = 3
Cuando juntamos estas dos ecuaciones, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones.
x 2 + y = 9
x – y = 3
Aquí tenemos un sistema de ecuaciones no lineal, donde una de las ecuaciones es una ecuación cuadrática , o una ecuación con el exponente más alto es 2, y la otra es una ecuación lineal , o una ecuación con el exponente más alto es 1.
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Ahora que hemos solucionado el problema, ¡estás en camino de conseguir ese premio! ¡Ahora, veamos cómo resolverlo!
Resolver un sistema algebraicamente
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones no lineal con una ecuación cuadrática y una lineal, a menudo la sustitución es la mejor manera de resolverlo. Para ello, seguimos estos pasos.
- Resuelve una de las variables de la ecuación lineal.
- Reemplaza la variable en la ecuación cuadrática con la solución del paso uno.
- Ahora tiene una ecuación en una variable. Resuelve esa variable.
- Reemplaza la variable en la ecuación lineal con la solución del paso tres. Resuelve para la otra variable. Deberá hacer esto para cada uno de los valores encontrados. Tus respuestas son tus pares de soluciones.
¡Sigamos adelante y llevemos nuestro sistema a través de estos pasos para que podamos conseguirle ese premio!
El primer paso es resolver una de las variables de la ecuación lineal. Cualquiera de las dos variables funcionará, pero como la vamos a insertar en la ecuación cuadrática, sería más fácil resolver para y . Luego, cuando lo conectamos, no tenemos que cuadrar una expresión, así que sigamos adelante y despejemos para y .
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Obtenemos y = x – 3. El siguiente paso es sustituir esta expresión por y en nuestra ecuación cuadrática.
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Ahora tenemos la ecuación cuadrática x 2 + x – 3 = 9. El tercer paso es resolver x en esta ecuación.
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Obtenemos que x = -4 o x = 3. El último paso es reemplazar estos valores en la ecuación lineal en nuestro sistema y resolver para y .
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Obtenemos eso cuando x = -4, y = -7, y cuando x = 3, y = 0. Ambos pares de números son soluciones al problema. ¡Rápido! ¡Ve y dile al encargado del stand que has resuelto el rompecabezas para que puedas obtener tu merecido premio!
Resolver gráficamente
También podemos resolver sistemas de ecuaciones no lineales gráficamente. Para ello, seguimos estos pasos.
- Grafica ambas ecuaciones en la misma gráfica.
- Identifica sus puntos de intersección. Estos puntos de intersección son sus soluciones.
Si tuviéramos que resolver nuestro ejemplo gráficamente, simplemente graficaríamos ambas ecuaciones en la misma gráfica e identificaríamos sus puntos de intersección.
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Vemos que los puntos de intersección son (3, 0) y (-4, -7), que es la misma solución que se nos ocurrió algebraicamente.
En nuestro ejemplo, vemos que tenemos dos soluciones. Cuando se trata de sistemas no lineales con una ecuación lineal y cuadrática, tendremos una, dos o ninguna solución para el sistema. Para determinar el número de soluciones, observamos la gráfica del sistema. Si tiene dos puntos de intersección, entonces hay dos soluciones.
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Si solo tiene un punto de intersección, entonces solo hay una solución.
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Por último, si no hay puntos de intersección, entonces no hay solución.
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Resumen de la lección
Un sistema de ecuaciones no lineal es una colección de dos o más ecuaciones con las mismas variables en las que al menos una de las ecuaciones no es lineal. Cuando tenemos un sistema no lineal con una ecuación cuadrática y una ecuación lineal , tendremos una, dos o ninguna solución. Podemos determinar el número de soluciones observando la gráfica del sistema. El número de soluciones corresponde al número de puntos de intersección en los gráficos.
Estos tipos de sistemas se pueden resolver algebraicamente mediante sustitución o gráficamente al encontrar los puntos de intersección. Al dividir el proceso de resolución en pasos en ambos casos, vemos que un problema aparentemente difícil se puede resolver de forma muy sencilla.
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