Rodrigo Ricardo

Resolver desigualdades de varios pasos con propiedades matemáticas

Publicado el 22 noviembre, 2020

Ecuaciones, desigualdades y propiedades de los números reales

Las desigualdades y las ecuaciones pueden parecer opuestas entre sí, pero resolver desigualdades es más como resolver ecuaciones de lo que piensas. Las mismas propiedades de los números reales que usamos para equilibrar y resolver ecuaciones también se pueden usar para resolver desigualdades. Entonces, ¿cuáles son estas propiedades de los números reales?

Son la propiedad distributiva, la propiedad de igualdad de la suma y la propiedad de igualdad de la multiplicación. Estas propiedades le permiten equilibrar ambos lados de una ecuación mientras mantiene una afirmación verdadera. Cada una de estas propiedades se usa casi exactamente de la misma manera al resolver desigualdades. Veamos cómo se aplican estas propiedades a las desigualdades.

Propiedad distributiva

Primero, tenemos la propiedad distributiva . Probablemente reconozca esta propiedad. Para las ecuaciones, se ve como este, donde un , b , y c son números reales:

a ( b + c ) = ab + ac

Por suerte para nosotros, podemos usar la propiedad distributiva exactamente de la misma manera para las desigualdades. Todo lo que tenemos que hacer es cambiar el signo igual por un símbolo de desigualdad. En otras palabras, para los números reales a , b , y c :

Si a ( b + c ) < d , entonces ab + ac < d

Si a ( b + c )> d , entonces ab + ac > d

Propiedad de adición

La propiedad de la suma dice que agregar el mismo valor a ambos lados de una ecuación es justo porque ambos lados permanecerán iguales en valor. Es decir, para los números reales a , b , y c , sabemos que:

Si a = b , entonces a + c = b + c

Esto también se aplica a las desigualdades. Simplemente reemplace el signo igual con un símbolo de desigualdad y tendremos la propiedad de suma de las desigualdades. Para los números reales a , b , y c , podemos decir que:

Si a < b , entonces a + c < b + c

Si a > b , entonces a + c > b + c

Esto también funciona con la resta, ya que puedes pensar en la resta como simplemente sumar un número negativo. En otras palabras, esta propiedad es verdadera incluso cuando c es negativo.

Propiedad de multiplicación

La propiedad de multiplicación de la igualdad establece que multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número mantendrá la ecuación verdadera. Para los números reales a , b , y c , se ve así:

Si a = b , entonces ac = bc

Cuando multiplicamos una desigualdad por un número mayor que 0, la propiedad de la multiplicación funciona igual que para una ecuación.

Para c > 0…

Si a < b , entonces ac < bc

Si a > b , entonces ac > bc

Recuerde que las desigualdades se vuelven un poco extrañas cuando multiplicamos (o dividimos) por un número negativo: la dirección de la desigualdad se invierte si ambos lados se multiplican por un número menor que 0.

Para c <0

Si a < b , entonces ac > bc

Si a > b , entonces ac < bc

Resolver desigualdades de varios pasos

Ahora podemos usar estas propiedades para ayudarnos a resolver desigualdades de una variable. Recuerda que resolver una desigualdad solo significa reordenarla para que tengamos la variable que estamos buscando en un lado de la desigualdad y un número en el otro lado.

Paso 1 : Identifica la variable que quieres resolver. Usaremos desigualdades de una variable en esta lección, por lo que solo habrá una variable de la que debemos preocuparnos.

Paso 2 : aislar la variable. Usa las propiedades distributivas, de suma y multiplicación de las desigualdades para reordenar la desigualdad de modo que tengas la variable en un lado y un número en el otro. ¡No olvide darle la vuelta al símbolo de desigualdad si está multiplicando o dividiendo por un número negativo!

Paso 3 : revisa tu trabajo. Una vez que haya resuelto su variable, vuelva a insertar un valor apropiado en la desigualdad original y simplifique. Si su desigualdad no es cierta para el valor que ingresó, vuelva atrás y vuelva a verificar sus cálculos.

Ejemplo 1

Resuelva -6 ( f – 4) <-36 para f .

De buenas a primeras, esos paréntesis son una indicación de que queremos usar la propiedad distributiva, así que comencemos por ahí. Distribuyamos el -6 en la fy el -4 en el lado izquierdo.

-6 ( f – 4) <-36

-6 f + (-6) (- 4) <-36

-6 p + 24 <-36

Usando la propiedad de la suma, podemos restar 24 de cada lado.

-6 p + 24 – 24 <-36 – 24

-6 f <-60

Usando la propiedad de la multiplicación, podemos multiplicar cada lado por -1/6, que es lo mismo que dividir por -6. Dado que multiplicamos por -1/6, un número negativo en cada lado, el símbolo de desigualdad se invierte.

-6 f <-60

(-1/6) (- 6 f )> (-1/6) (- 60)

f > 10

Sabemos que para esta desigualdad, f debe ser mayor que 10. Ahora, elija un valor verdadero de la desigualdad f > 10, como 11, y colóquelo en la desigualdad original para verificar su respuesta.

-6 ( f – 4) <-36

-6 (11 – 4) <-36

-6 (7) <-36

-42 <-36

Es cierto que -42 es menor que -36, por lo que podemos estar seguros de que f > 10 es la respuesta correcta.

Ejemplo 2

Resuelve 3 ( x – 1) < x – 15 para x .

Tenemos paréntesis en el lado izquierdo nuevamente, así que usemos esa propiedad distributiva que conocemos tan bien.

3 ( x – 1) < x – 15

3 x + 3 (-1) < x – 15

3 x – 3 < x – 15

Es posible que ya hayas notado algo un poco raro con esta desigualdad: tenemos una x en ambos lados. Sin embargo, eso no es un problema, ya que todavía podemos usar la propiedad de la suma siempre que nos aseguremos de sumar o restar ambos lados de la desigualdad por el mismo valor. Como tenemos una x a la derecha, restemos ambos lados de la desigualdad por x y veamos qué sucede.

3 x – 3 < x – 15

3 x – 3 – x < x – 15 – x

2 x – 3 <-15

Hemos movido con éxito todos los términos x al lado izquierdo de la desigualdad. Ahora podemos empezar a aislar la variable. Podemos comenzar usando la propiedad de la suma para sumar 3 a ambos lados.

2 x – 3 + 3 <-15 + 3

2 x <-12

Ahora, la propiedad de la multiplicación entra en juego para el golpe de gracia. Podemos dividir cada lado por 2 (lo mismo que multiplicar cada lado por 1/2). No estamos multiplicando ni dividiendo por un número negativo aquí, por lo que el signo de desigualdad no cambiará de dirección.

2 x <-12

2 x ÷ 2 <-12 ÷ 2

x <-6

Ahora, vuelva a verificar su respuesta ingresando un valor verdadero de la desigualdad x <-6, como x = -10.

3 ( x – 1) < x – 15

3 (-10 – 1) <-10 – 15

3 (-11) <-25

-33 <-25

Sabemos con certeza que -33 es menor que -25, por lo que podemos decir con seguridad que x <-6 es la respuesta correcta.

Resumen de la lección

Vimos que las mismas propiedades que nos ayudan a equilibrar una ecuación se pueden usar para resolver una desigualdad de varios pasos. Aquí hay una revisión rápida de cómo esas propiedades se relacionan con las desigualdades:

PropiedadDeclaración
DistributivoSi a ( b + c ) < d , entonces ab + bc <d
AdiciónSi a < b , entonces a + c < b + c
Multiplicación para c > 0Si a < b , entonces ac < bc
Multiplicación para c <0Si a < b , entonces ac > bc

Sin embargo, las desigualdades tienen una bola curva: si estás multiplicando o dividiendo por un número negativo, ¡debes invertir la dirección del símbolo de desigualdad!

Es esencial seguir los pasos correctos para resolver adecuadamente una desigualdad de varios pasos:

Paso 1 : Identifica la variable que quieres resolver.

Paso 2 : aislar la variable usando las propiedades distributivas, de suma y multiplicación de las desigualdades. Si está multiplicando o dividiendo por un número negativo, ¡recuerde invertir el signo de desigualdad!

Paso 3 : Verifique su trabajo ingresando un valor real en la desigualdad original.

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