Resolver ecuaciones con el método de sustitución: ejemplos y descripción general de álgebra

El método de sustitución

No debería darte dolor de cabeza. Realmente, no debería. El método de sustitución te ayuda a resolver tus problemas al sustituir cosas más simples en tu ecuación para que puedas resolver el problema más rápido y sin dificultad. Al igual que los sustitutos del mundo real toman el lugar de tu maestro y te hacen la vida un poco más fácil durante el día, lo mismo ocurre con el método de sustitución. Además, de manera similar a la forma en que los maestros sustitutos le dan instrucciones mientras su maestro no está, el método de sustitución le da una idea más clara de cómo resolver el problema cuando la respuesta no está presente.

Para darle una idea de cómo funciona la sustitución, digamos que tengo algunas monedas de cinco y diez centavos. Quiero averiguar cuántas monedas de cinco y diez centavos se necesitan para hacer una moneda de veinticinco centavos. Bien, probablemente ya te hayas dado cuenta de que se necesitan dos monedas de diez centavos y una de cinco centavos. Pero digamos que no lo sabía. Digamos que lo único que sabía era que tenía monedas de cinco y diez centavos y que se necesitan dos monedas de cinco centavos para hacer una moneda de diez centavos. En lugar de tratar de averiguar cuántas monedas de diez centavos y cinco centavos necesito, puedo tratar de averiguar cuántas monedas de cinco centavos necesito mucho más fácilmente si reemplazo cada centavo con dos monedas de cinco centavos. Calculo la cantidad de monedas de cinco centavos dividiendo 25 entre 5. Al hacer eso, obtengo 5 monedas de cinco centavos. Pero espere, sé que puedo reemplazar dos monedas de cinco centavos con una moneda de diez centavos, entonces, ¿cuántas monedas de diez centavos puedo reemplazar? Puedo cambiar cuatro de las monedas de cinco centavos y tendré dos monedas de diez centavos. Y listo, tengo mi respuesta. Se necesitan dos monedas de diez centavos y una de cinco centavos para hacer un cuarto. ¿Ves cómo funciona?

¿Cuántas monedas de diez centavos y cinco se necesitan para hacer un cuarto?

Cómo usarlo

La sustitución se usa generalmente en sistemas de ecuaciones. Si se le presenta un problema verbal, primero debe escribirlo como un sistema de ecuaciones. ¿Recuerda nuestro ejemplo de las monedas de cinco y diez centavos? ¿Cómo escribirías eso como un sistema de ecuaciones? Comenzaría por definir mis variables. Etiquetaré mis monedas de diez centavos d y mis monedas de cinco centavos n . En este ejemplo, termino con dos ecuaciones: una que me da la cantidad de monedas de cinco y diez centavos que se necesitan para hacer una moneda de veinticinco centavos y otra que me dice cuántas monedas de cinco centavos hay en una moneda de diez centavos. Mis dos ecuaciones son 10d + 5 n = 25 y D = 2n. ¿Observas cómo he multiplicado las monedas de diez centavos por 10 y las monedas de cinco centavos por 5 en la primera ecuación? Hice esto porque necesito saber cuántos centavos hay en cada grupo. Sé que las monedas de diez centavos cuestan cada una y las de cinco centavos cada una. Entonces, para averiguar cuántos centavos hay en cada uno, multiplico.

Multiplico las monedas de diez centavos por diez y las monedas de cinco centavos por cinco porque eso es lo que valen.

Mirando la primera ecuación, noto que tengo dos variables. Hmmm, no puedo resolver eso porque tengo más variables de las que sé qué hacer. Pero, mirando la segunda ecuación, veo que puedo sustituir la d por 2n . Al hacer eso, mi primera ecuación se convierte en 10 (2n) + 5n = 25 . Definitivamente puedo resolver esto para n . Veamos lo que obtenemos.

Esto me dice que necesito una moneda de cinco centavos. Para calcular el número de monedas de diez centavos, conecto mi n = 1 en la segunda ecuación. Esto es lo que obtengo.

Entonces necesito dos monedas de diez centavos. Entonces mi respuesta final es dos monedas de diez centavos y una moneda de cinco centavos para hacer un cuarto. Si bien los problemas matemáticos que ve pueden parecer más difíciles, en realidad no lo son. Solo recuerda lo fácil que fue esto. Está siguiendo exactamente los mismos pasos, solo que las variables pueden ser diferentes.

Si tiene tres variables en lugar de dos, simplemente haga lo que acaba de aprender. La única diferencia importante es que necesita una tercera ecuación que le diga qué sustituir por la tercera variable. Recuerde, la única forma de resolver una ecuación es si solo tiene una variable. Así que ese es su objetivo: sustituir las variables desconocidas por otras ecuaciones para que se quede con una sola variable. Por ejemplo, digamos que su problema matemático tiene x , y y z como variables. Ves que la segunda ecuación te da y en términos de x y la tercera ecuación te da z en términos de x. Bueno, podrías sustituir esas ecuaciones en la primera de modo que la única variable que tenga sea x . Una vez que hayas resuelto la x , puedes usar esa información para resolver las otras variables.

Las otras dos ecuaciones se pueden sustituir en la primera para que solo tenga la variable x para resolver.

Resumen

El método de sustitución no es tan difícil como parece a primera vista. Recuerda que tu objetivo es simplificar tu vida. Sabes que para resolver una ecuación, solo puede tener una variable. Haga que ese sea su objetivo cuando observe las otras ecuaciones del problema. Desea utilizar una ecuación en la que pueda sustituir o reescribir una variable desconocida en términos de la variable que desea resolver.

Los resultados del aprendizaje

Después de terminar esta lección, debería poder:

• Describe el método de sustitución
• Explica cómo usar la sustitución para resolver ecuaciones.
• Resolver ejemplos usando el método de sustitución

Rodrigo Ricardo Editor y fundador