Resolver ecuaciones con relaciones angulares
Ecuaciones con relaciones angulares
Hay algunas mezclas de jugos realmente deliciosas, como la naranja y el mango. ¿Qué tal melocotón y limón? De acuerdo, quizás no tan delicioso. Bueno, ¿qué tal una mezcla de álgebra y geometría?
De hecho, se produce una muy buena combinación de álgebra y geometría cuando identificamos relaciones de ángulos geométricos y luego expresamos incógnitas usando ecuaciones algebraicas. Las relaciones de ángulos que veremos son ángulos suplementarios, ángulos complementarios y ángulos verticales.
Ángulos suplementarios
Para comenzar esta deliciosa mezcla, miraremos una línea recta y notaremos cómo es una rotación de 180 o .
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Hecho: Los ángulos suplementarios suman 180 o .
Esto significa que si conocemos uno de los dos ángulos suplementarios , podemos calcular fácilmente el otro. En este ejemplo, los ángulos de 150 o y x son suplementarios.
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Entonces 150 + x = 180. Es decir, el ángulo x = 30 o .
Cambiemos la orientación de la línea recta y hagamos que el ángulo desconocido sea una expresión algebraica.
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Los pasos para resolver x :
- Identifica la relación de los ángulos:
Hay una línea recta y vemos que 150 o y 2 x son ángulos suplementarios.
- Escribe una ecuación:
150 + 2 x = 180; (los ángulos suplementarios suman 180 o )
- Resuelve lo desconocido
150 + 2 x – 150 = 180 – 150; (restando 150 de ambos lados)
2 x = 30; (simplificando)
2 x / 2 = 30/2; (dividiendo ambos lados por 2)
x = 15; (simplificando)
Por lo tanto, x = 15 y el ángulo desconocido es 2 x = 30 o .
¿Qué pasa si la línea recta está en una posición no estándar y hay más líneas?
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Los pasos siguen siendo los mismos:
- Identifica la relación de los ángulos:
Los ángulos de 60 o y 4 x son suplementarios.
- Escribe una ecuación:
4 x + 60 = 180; (los ángulos suplementarios suman 180 o )
- Resuelve lo desconocido:
4 x + 60 – 60 = 180 – 60; (restar 60 de ambos lados)
4 x = 120; (simplificar)
4 x / 4 = 120/4; (divide ambos lados entre 4)
x = 30; (simplificar)
Por lo tanto, x = 30 y el ángulo desconocido es 4 x = 120 o .
Continuando con nuestra mezcla de geometría y álgebra, observamos la relación de ángulos complementarios.
Ángulos complementarios
Un pequeño cuadrado en una figura indica un ángulo de 90 ° .
Hecho: Los ángulos complementarios suman 90 o .
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Ver un pequeño cuadrado en una figura es una pista para buscar ángulos complementarios .
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Vemos que x y 50 o son complementarios. Entonces, x = 40 o . Veamos un problema un poco más complicado.
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Usando los pasos:
- Identifica la relación de los ángulos:
Los ángulos de 35 o y 2 x – 5 son complementarios.
- Escribe una ecuación:
2 x – 5 + 35 = 90; (los ángulos complementarios suman 90 o )
- Resuelve lo desconocido:
2 x + 30 = 90; (-5 + 35 es igual a 30)
2 x + 30 – 30 = 90 – 30; (reste 30 de ambos lados)
2 x = 60; (simplificar)
2 x / 2 = 60/2; (divide ambos lados por 2)
x = 30; (simplificar)
Por tanto, x = 30 y el ángulo desconocido es 2 x – 5 = 55 o .
Hay una relación de ángulo más jugosa para mirar.
Ángulos verticales
Cuando dos líneas se cruzan, las líneas forman pares de ángulos iguales. Un par se ve así:
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Las mismas líneas cruzadas también forman otro par igual:
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Estos tipos de ángulos se denominan ángulos verticales .
Hecho: Los ángulos verticales son los ángulos opuestos entre sí cuando se cruzan dos líneas. Estos ángulos son congruentes . Se dice que los ángulos que son iguales son congruentes.
Por ejemplo, encuentre el ángulo etiquetado x :
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Dos líneas de cruce crean ángulos verticales. Entonces, x = 35 o .
Un ejemplo de repaso: En la siguiente figura, encuentre los valores para x , y y z .
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En primer lugar, esta figura parece tener letras por todas partes. Todos los lugares excepto donde las líneas se encuentran en el origen. Nos referiremos a este lugar como “O”.
Recordando el Paso 1: Identifica la relación de los ángulos. Vemos un ángulo recto en AOE. Esta abreviatura, ” AOE ”, significa que el vértice está en O y el ángulo está formado por los segmentos de línea AO y OE. Puede haber una relación de ángulo complementario que podamos usar. Los ángulos x en EOF y 20 o son complementarios. Por lo tanto, x + 20 = 90, ¡y listo!
x = 70 o .
¿Qué hay de los ángulos verticales? Busque líneas que se crucen. Seguro, la línea AD cruza la línea CF. Los ángulos opuestos son iguales. Por tanto, y en COD es igual a 20 o .
¿Ves la línea AD? La relación de ángulos a identificar son ángulos suplementarios que suman 180 o . Así,
y + z + (5 y + 10) = 180, y ahora sustituimos y resolvemos.
20 + z + 5 (20) + 10 = 180; habiendo sustituido 20 por y
130 + z = 180; habiendo combinado 20 + 5 (20) + 10 para dar 20 + 100 + 10, que es 130
z = 50 o ; habiendo restado 130 de ambos lados
¿Ves cómo una figura geométrica de aspecto complicado se puede resolver usando relaciones de ángulos y álgebra?
Por tanto, se ha respondido a la pregunta de cómo mezclar geometría y álgebra. Ahora, podemos volver a buscar una mezcla alternativa para melocotones y limones.
Resumen de la lección
Usando álgebra y relaciones de ángulos, podemos resolver variables desconocidas y ángulos desconocidos. Primero, debemos identificar la relación de los ángulos. A continuación, debemos escribir una ecuación. Luego resolvemos lo desconocido y simplificamos. Las relaciones de ángulos incluyen:
- Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180 o .
- Los ángulos complementarios son los que suman 90 o .
- Los ángulos verticales son los ángulos opuestos entre sí cuando se cruzan dos líneas. Estos ángulos son iguales. Los ángulos congruentes son iguales.