Rodrigo Ricardo

Resolver ecuaciones con relaciones angulares

Publicado el 22 noviembre, 2020

Ecuaciones con relaciones angulares

Hay algunas mezclas de jugos realmente deliciosas, como la naranja y el mango. ¿Qué tal melocotón y limón? De acuerdo, quizás no tan delicioso. Bueno, ¿qué tal una mezcla de álgebra y geometría?

De hecho, se produce una muy buena combinación de álgebra y geometría cuando identificamos relaciones de ángulos geométricos y luego expresamos incógnitas usando ecuaciones algebraicas. Las relaciones de ángulos que veremos son ángulos suplementarios, ángulos complementarios y ángulos verticales.

Ángulos suplementarios

Para comenzar esta deliciosa mezcla, miraremos una línea recta y notaremos cómo es una rotación de 180 o .


Ángulo suplementario: 180 grados
ángulo suplementario

Hecho: Los ángulos suplementarios suman 180 o .

Esto significa que si conocemos uno de los dos ángulos suplementarios , podemos calcular fácilmente el otro. En este ejemplo, los ángulos de 150 o y x son suplementarios.


Encuentra el ángulo
find_the_angle

Entonces 150 + x = 180. Es decir, el ángulo x = 30 o .

Cambiemos la orientación de la línea recta y hagamos que el ángulo desconocido sea una expresión algebraica.


Encontrar x
find_x

Los pasos para resolver x :

  • Identifica la relación de los ángulos:

Hay una línea recta y vemos que 150 o y 2 x son ángulos suplementarios.

  • Escribe una ecuación:

150 + 2 x = 180; (los ángulos suplementarios suman 180 o )

  • Resuelve lo desconocido

150 + 2 x – 150 = 180 – 150; (restando 150 de ambos lados)

2 x = 30; (simplificando)

2 x / 2 = 30/2; (dividiendo ambos lados por 2)

x = 15; (simplificando)

Por lo tanto, x = 15 y el ángulo desconocido es 2 x = 30 o .

¿Qué pasa si la línea recta está en una posición no estándar y hay más líneas?


Orientación arbitraria
find_x_arbitrary_orientation

Los pasos siguen siendo los mismos:

  • Identifica la relación de los ángulos:

Los ángulos de 60 o y 4 x son suplementarios.

  • Escribe una ecuación:

4 x + 60 = 180; (los ángulos suplementarios suman 180 o )

  • Resuelve lo desconocido:

4 x + 60 – 60 = 180 – 60; (restar 60 de ambos lados)

4 x = 120; (simplificar)

4 x / 4 = 120/4; (divide ambos lados entre 4)

x = 30; (simplificar)

Por lo tanto, x = 30 y el ángulo desconocido es 4 x = 120 o .

Continuando con nuestra mezcla de geometría y álgebra, observamos la relación de ángulos complementarios.

Ángulos complementarios

Un pequeño cuadrado en una figura indica un ángulo de 90 ° .

Hecho: Los ángulos complementarios suman 90 o .


Un ángulo de 90 grados
an_angle_of_90_degrees

Ver un pequeño cuadrado en una figura es una pista para buscar ángulos complementarios .


Encontrar el ángulo
find__the_angle

Vemos que x y 50 o son complementarios. Entonces, x = 40 o . Veamos un problema un poco más complicado.


Encontrar x
find_x_

Usando los pasos:

  • Identifica la relación de los ángulos:

Los ángulos de 35 o y 2 x – 5 son complementarios.

  • Escribe una ecuación:

2 x – 5 + 35 = 90; (los ángulos complementarios suman 90 o )

  • Resuelve lo desconocido:

2 x + 30 = 90; (-5 + 35 es igual a 30)

2 x + 30 – 30 = 90 – 30; (reste 30 de ambos lados)

2 x = 60; (simplificar)

2 x / 2 = 60/2; (divide ambos lados por 2)

x = 30; (simplificar)

Por tanto, x = 30 y el ángulo desconocido es 2 x – 5 = 55 o .

Hay una relación de ángulo más jugosa para mirar.

Ángulos verticales

Cuando dos líneas se cruzan, las líneas forman pares de ángulos iguales. Un par se ve así:


Ángulos iguales
ángulos_iguales

Las mismas líneas cruzadas también forman otro par igual:


Los otros ángulos iguales
the_other_equal_angles

Estos tipos de ángulos se denominan ángulos verticales .

Hecho: Los ángulos verticales son los ángulos opuestos entre sí cuando se cruzan dos líneas. Estos ángulos son congruentes . Se dice que los ángulos que son iguales son congruentes.

Por ejemplo, encuentre el ángulo etiquetado x :


Encontrar x
find_x

Dos líneas de cruce crean ángulos verticales. Entonces, x = 35 o .

Un ejemplo de repaso: En la siguiente figura, encuentre los valores para x , y y z .


Encontrar x, y y z
find_x, _y_and_z

En primer lugar, esta figura parece tener letras por todas partes. Todos los lugares excepto donde las líneas se encuentran en el origen. Nos referiremos a este lugar como “O”.

Recordando el Paso 1: Identifica la relación de los ángulos. Vemos un ángulo recto en AOE. Esta abreviatura, ” AOE ”, significa que el vértice está en O y el ángulo está formado por los segmentos de línea AO y OE. Puede haber una relación de ángulo complementario que podamos usar. Los ángulos x en EOF y 20 o son complementarios. Por lo tanto, x + 20 = 90, ¡y listo!

x = 70 o .

¿Qué hay de los ángulos verticales? Busque líneas que se crucen. Seguro, la línea AD cruza la línea CF. Los ángulos opuestos son iguales. Por tanto, y en COD es igual a 20 o .

¿Ves la línea AD? La relación de ángulos a identificar son ángulos suplementarios que suman 180 o . Así,

y + z + (5 y + 10) = 180, y ahora sustituimos y resolvemos.

20 + z + 5 (20) + 10 = 180; habiendo sustituido 20 por y

130 + z = 180; habiendo combinado 20 + 5 (20) + 10 para dar 20 + 100 + 10, que es 130

z = 50 o ; habiendo restado 130 de ambos lados

¿Ves cómo una figura geométrica de aspecto complicado se puede resolver usando relaciones de ángulos y álgebra?

Por tanto, se ha respondido a la pregunta de cómo mezclar geometría y álgebra. Ahora, podemos volver a buscar una mezcla alternativa para melocotones y limones.

Resumen de la lección

Usando álgebra y relaciones de ángulos, podemos resolver variables desconocidas y ángulos desconocidos. Primero, debemos identificar la relación de los ángulos. A continuación, debemos escribir una ecuación. Luego resolvemos lo desconocido y simplificamos. Las relaciones de ángulos incluyen:

  • Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180 o .
  • Los ángulos complementarios son los que suman 90 o .
  • Los ángulos verticales son los ángulos opuestos entre sí cuando se cruzan dos líneas. Estos ángulos son iguales. Los ángulos congruentes son iguales.

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