Rodrigo Ricardo

Resolver ecuaciones cúbicas con números enteros

Publicado el 22 noviembre, 2020

Ecuaciones cúbicas

¿Qué son las ecuaciones cúbicas? Las ecuaciones cúbicas son aquellas cuyo grado más alto es 3, lo que significa que la potencia o exponente más alto es 3. ¿Por qué 3? Bueno, piensa en un cubo. ¿Cómo hallas el volumen de un cubo? Debido a que todos los lados tienen la misma longitud, usted eleva al cubo uno de los lados, lo que significa que toma el lado a la tercera potencia.

Entonces, si tuviéramos un cubo que midiera 6 pulgadas en cada lado, entonces nuestro volumen sería 6 al cubo, o 6 elevado a la tercera potencia (6 ^ 3). ¿Ves ese pequeño 3? Concéntrate en lo pequeño. Cuando piense en ecuaciones cúbicas, recuerde este pequeño 3 que siempre está ahí para encontrar el volumen de un cubo. Un ejemplo de una ecuación cúbica es la ecuación: x ^ 3 + 8 x ^ 2 + 19 x + 12 = 0. ¿Ves el pequeño 3?

Lo que está a punto de aprender en este video sobre cómo resolver este tipo de ecuaciones lo ayudará a seguir mejorando sus habilidades matemáticas. Te encontrarás con ecuaciones cúbicas en tus problemas y cuando intentes resolver problemas de física del mundo real. Una vez que haya terminado de ver esta lección en video, tendrá un método útil para resolver las ecuaciones cúbicas que encontrará en la vida.

El proceso que está a punto de aprender requiere que sepa cómo realizar la división sintética o la división larga en sus polinomios. Si aún no lo sabe, tómese un tiempo ahora mismo para repasar sus habilidades de división de polinomios.

La prueba de las raíces racionales

El método que les estoy mostrando usa lo que se llama la prueba de raíces racionales , que le dice que las posibles soluciones o raíces de un polinomio se pueden encontrar dividiendo un factor del término constante por un factor del número asociado con el primer término. Sé que esto puede sonar un poco confuso en este momento. Pero déjame mostrarte cómo funciona y estoy seguro de que tendrá más sentido.

Encontrar su primera solución

Vamos a resolver la ecuación cúbica: x ^ 3 + 8 x ^ 2 + 19 x + 12 = 0. Comenzamos aplicando la prueba de raíces racionales para obtener una lista de nuestras posibles soluciones o raíces. Primero ubicamos nuestro término constante, que es 12, y nuestro primer término, que es x ^ 3.

¿Cuál es el número asociado con x ^ 3? Como no vemos un número, sabemos que es 1. Ahora vamos a hacer una lista de nuestros posibles factores para cada uno de los términos.

Nuestros factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. No podemos olvidar las versiones negativas de todos estos números también. Entonces, nuestra lista completa de factores de 12 es +/- 1, +/- 2, +/- 3, +/- 4, +/- 6 y +/- 12.

Luego, necesitamos encontrar los factores de 1, el número asociado con nuestro primer término. ¿Qué números se dividen uniformemente en 1? Solo hay un número, y ese es 1. Entonces, nuestros factores de 1 son +/- 1.

Ahora, de acuerdo con la prueba de raíces racionales, nuestras posibles soluciones se pueden encontrar dividiendo los factores de nuestro término constante por los factores del número asociado con el primer término. Entonces, vamos a tomar cada uno de nuestros factores de 12 y dividirlo por los factores de 1.

Si tenemos más de un factor de nuestro primer término, también dividiremos nuestros factores de nuestro término constante por ese número. Por ejemplo, si el número asociado con nuestro primer término es 2, entonces los posibles factores de 2 son +/- 1 y +/- 2. Luego dividiríamos cada uno de nuestros factores de este término constante primero por +/- 1 y luego de nuevo por +/- 2.

Solo tenemos que preocuparnos del +/- 1, por lo que nuestra lista de posibles soluciones es la siguiente. Estos números se pueden simplificar ya que dividir por 1 nos da nuestro numerador. Entonces, nuestra lista simplificada son las versiones positivas y negativas de 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Ahora que tenemos nuestra lista, nuestro trabajo es comenzar a conectar cada uno de estos en nuestra ecuación para ver cuál nos dará 0 como respuesta. Sí, esto es prueba y error. Recuerde que debemos probar tanto la versión positiva como la negativa. Solo tenemos que seguir adelante hasta encontrar uno que funcione.

Probemos con el número 1 y veamos qué nos da. Conectando esto a nuestra ecuación obtenemos 1 ^ 3 + 8 * 1 ^ 2 + 19 * 1 + 12 = 40. ¡No! Eso no funciona. No es igual a 0. Por lo tanto, debemos probar con otro número. Bueno, 40 no está particularmente cerca de 0 y estoy sumando todo. Eso me dice que necesito un negativo en alguna parte, así que intentemos con el número -3 a continuación.

Conectando el -3 obtengo (-3) ^ 3 + 8 * (-3) ^ 2 + 19 * (-3) + 12 = -27 + 8 * 9 – 57 + 12 = -27 + 72 – 57 + 12 = 0. ¡Ajá! ¡Eso funciona! Obtengo un 0 por mi respuesta. Entonces, eso me dice que -3 es una de mis soluciones. Recuerde que las ecuaciones cúbicas siempre tendrán 3 soluciones, pero es posible que no todas sean soluciones reales.

Encontrar las otras dos soluciones

Ahora que hemos encontrado una solución, busquemos las otras dos soluciones. Para esto, necesitamos dividir nuestra ecuación cúbica por nuestra primera solución. Hacemos esto convirtiendo nuestra solución en un factor escribiendo ( xk ), donde k es nuestra solución. Dado que -3 es nuestra respuesta, escribiremos ( x + 3). Obtenemos el signo más ya que estamos restando un negativo, que se convierte en positivo.

Entonces, necesitamos dividir x ^ 3 + 8 x ^ 2 + 19 x + 12 por ( x + 3). Para esto, usaremos la división sintética o la división larga. Usando división sintética obtengo esto.


Usa la división larga para identificar las otras dos soluciones de la ecuación cúbica
La ecuación cúbica dividida por su raíz (x + 3)

Recordando que cuando usamos la división sintética, usamos la solución del factor por el que estamos dividiendo. Estamos dividiendo por x + 3, entonces nuestra solución es -3. Entonces, escribimos este número en el extremo izquierdo.

El resultado final de dividir por división sintética es x ^ 2 + 5 x + 4. Entonces, para encontrar las otras dos soluciones, resolvemos esta nueva cuadrática. Podemos resolverlo utilizando cualquier método con el que nos sintamos cómodos. Podemos usar la fórmula cuadrática o podemos resolver factorizando. Factoricemos esto para resolverlo.

Factorizando x ^ 2 + 5 x + 4 obtenemos ( x + 4) ( x + 1). A partir de estos factores, termino de resolver para obtener x = -4 y x = -1 para mis otras dos soluciones. Ya he terminado. Mi respuesta completa son mis tres soluciones de x = -3, x = -4 y x = -1.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Aprendimos que existe una forma sistemática de resolver ecuaciones cúbicas , ecuaciones cuyo grado más alto es 3.

La prueba de raíces racionales , que nos dice que las posibles soluciones o raíces de un polinomio se pueden encontrar dividiendo un factor del término constante por un factor del número asociado con el primer término. Aplicamos la prueba de raíces racionales a nuestra ecuación cúbica para encontrar posibles respuestas. Y luego conectamos cada posible solución en nuestra ecuación cúbica hasta que encontremos una que nos dé un cero para nuestra respuesta.

Una vez que hayamos encontrado esa respuesta, tomamos esta raíz y usamos la división sintética para dividir nuestra ecuación cúbica por esta raíz. El resultado debe ser un cuadrático, que podemos terminar de resolver usando lo que sabemos sobre ecuaciones cuadráticas. Deberíamos terminar con un total de tres soluciones.

Los resultados del aprendizaje

Mire este video y revise sus secciones individuales para:

  • Reconocer y dar un ejemplo de ecuación cúbica.
  • Implementar la prueba de raíces racionales para identificar las raíces y resolver una ecuación cúbica
  • Recorre el proceso de búsqueda de soluciones

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