Resolver ecuaciones y desigualdades que involucran funciones racionales

Funciones racionales

Hola a todos. Y bienvenido a esta lección en video sobre funciones racionales . Recuerda que nuestras funciones racionales son aquellas funciones que son la división de dos polinomios. Podemos tener funciones racionales simples como 3 / x o funciones más complicadas como ( x – 2) / ( x ^ 2 – 4 x + 4).

En esta lección en video, aprenderemos cómo resolver ecuaciones y desigualdades que involucran estas funciones racionales. Sí, verá una ecuación o desigualdad que tiene funciones racionales en uno o ambos lados de la ecuación o desigualdad. Aprenderá los pasos que debe seguir para resolver estos problemas y luego le daré algunos consejos sobre lo que debe tener en cuenta. Te encontrarás con este tipo de problemas cada vez más a medida que avances en tus matemáticas, por lo que saber cómo resolver este tipo de ecuaciones te será de gran utilidad. Y oye, podrás ayudar a tus amigos que necesitan ayuda con estos problemas.

Resolver una ecuación racional

Comencemos por resolver una ecuación con funciones racionales en ella. Le daré una ecuación simple para mantener los pasos claros. Los pasos son los mismos, no importa cuán grandes sean las funciones racionales. Lo que necesita saber para comenzar es su álgebra y cómo resolver varios tipos de polinomios, el más importante es cómo factorizar cuadráticas.

Imagine que está tomando una prueba y se le presenta este problema:

Necesitas resolverlo para x . ¿Cómo puedes hacerlo? Piensas en el álgebra y recuerdas que cuando ves un signo igual entre dos fracciones como esta, para resolverlo, necesitas multiplicar en cruz. Entonces, multiplica el numerador de un lado con el denominador del otro lado y luego viceversa. Ahora tienes esto:

Para continuar resolviendo, ahora debe dejar todos los términos a un lado. Entonces resta el 9 de ambos lados:

La razón por la que haces esto es porque tienes un exponente conectado con tu variable. Si lo resolvió sin mover todos sus términos a un lado, es posible que pierda algunas soluciones. Ahora que todos tus términos están en un lado, puedes seguir adelante y resolver como lo hiciste en álgebra. Verá que esto es cuadrático, así que continúe y factorice para resolver:

Tus respuestas son 3 y -3. Debido a que estamos tratando con funciones racionales aquí, necesitamos volver a conectar estas soluciones a nuestro problema original solo para verificar que funcionan. Reemplazando 3 nuevamente en el problema original, obtenemos 3/3 = 3 / 3. Eso se convierte en 1 = 1, lo que verifica. Reemplazando -3 al problema original, obtenemos 3 / -3 = -3 / 3. Eso se convierte en -1 = -1, lo que también se verifica. Ambos revisan, así que tenemos dos soluciones: 3 y -3.

Resolver una desigualdad racional

Ahora veamos cómo resolver una desigualdad que involucra funciones racionales. Imagine que todavía está tomando la prueba y ahora ve este problema:

Para resolver este problema, ahora necesita analizar la función racional. Para hacer esto, necesita encontrar dónde la función racional es igual a 0 y dónde las funciones racionales no están definidas. La función racional es igual a 0 cuando el numerador es igual a 0, y no está definida cuando el denominador es igual a 0. Entonces, divide tu función racional en sus partes de numerador y denominador y resuelve cada una para 0.

Resolviendo el numerador para 0, obtienes x = 0. Si el denominador es igual a 0, obtienes x – 2 = 0. Resolviendo esto para x , obtienes x = 2.

Estos números que acaba de recibir dividen nuestra función en intervalos. Al insertar números de prueba dentro de cada intervalo, podemos averiguar en qué intervalo (o intervalos) nuestra función racional es menor o igual que 0.

Nuestro primer intervalo es de negativo a 0. Podemos introducir -1 como número de prueba. Obtenemos -1 / (-1 – 2) = -1 / -3 = 1/3. Este es un número positivo, por lo que este intervalo no es una solución.

Nuestro próximo intervalo es de 0 a 2. Podemos conectar 1,5 o 3/2. Obtenemos (3/2) / (3/2 – 2) = 3 / (2 (-1/2)) = 3 / (-1) = -3. ¡Ajá! Este intervalo es negativo y se ajusta a mi desigualdad, por lo que este intervalo es una solución. ¿Y el último intervalo? Vamos a revisar.

Nuestro último intervalo es de 2 a infinito positivo. Podemos conectar 3 para probar. Obtenemos 3 / (3 – 2) = 3/1 = 3. No, este intervalo no es una solución porque obtuvimos un número positivo mayor que 0.

Nuestra solución entonces es el intervalo de 0 a 2 inclusive. Podemos escribir esto como [0, 2], donde los corchetes muestran que estamos incluyendo los números 0 y 2. Usaríamos paréntesis si no incluyéramos esos números; por ejemplo, si nuestra desigualdad fuera menor que en lugar de menor o igual a.

Puntos a tener en cuenta

Ahora hemos visto cómo resolver ecuaciones y desigualdades que involucran funciones racionales. A continuación, se incluyen algunos consejos para tener en cuenta.

• Escribe cada paso. No intentes hacerlo en tu cabeza. Las matemáticas pueden complicarse con funciones racionales más grandes. Desea poder ver bien todos sus pasos en un papel para que, si comete un error en una multiplicación o signo, pueda verlo y corregirlo fácilmente.
• Pruebe todas sus soluciones. Es posible que algunas de sus soluciones sean falsas. Siempre es una buena idea conectar sus soluciones a la función original para asegurarse de que sean correctas. Además, si cometió un error en algún lugar del camino, esta verificación se lo dirá.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora.

Las funciones racionales son aquellas funciones que son la división de dos polinomios. Para resolver una ecuación que involucra funciones racionales, multiplicamos de forma cruzada los numeradores y denominadores. Luego movemos todos nuestros términos a un lado. Luego usamos nuestras habilidades de álgebra para resolver.

Para resolver una desigualdad que involucra funciones racionales, establecemos nuestro numerador y denominador en 0 y los resolvemos por separado. Esto nos dará números que dividen nuestra función en intervalos. Luego tomamos un número de prueba dentro de cada intervalo para averiguar qué intervalo cumple con nuestra desigualdad. Los intervalos que cumplen con nuestra desigualdad son los intervalos de solución.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:

• Reconocer funciones racionales
• Resolver ecuaciones y desigualdades racionales
• Implementar sugerencias para trabajar con este tipo de problemas

Rodrigo Ricardo Editor y fundador