Resolver sistemas de ecuaciones con combinaciones lineales

Tener algo en común

Donde trabajamos, conocemos a diferentes personas. Aquellos que conocemos pueden tener un vínculo común. Cuando las ecuaciones lineales funcionan juntas, pueden tener un punto de intersección que sea común entre las líneas.

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales que utilizan combinaciones lineales?

Estas son dos ecuaciones con dos variables que tienen un punto o un par ordenado como solución que es común entre las dos ecuaciones lineales. Sí, podría haber más ecuaciones y variables, pero nos quedaremos con lo básico.

Hay tres métodos clave (representación gráfica, sustitución y eliminación) para resolver sistemas de ecuaciones. Simplemente, el método de combinaciones lineales, que es el enfoque de esta lección, incluye sumar o restar términos de variables para eliminar una de las variables y luego combinar las dos ecuaciones para resolver el punto común.

Además, con la ayuda de dos propiedades de igualdad, los ejemplos siguientes probarán que una solución es la misma independientemente de cómo combinemos nuestras ecuaciones lineales.

¿Cuáles son algunas formas de demostrar una solución de un sistema de ecuaciones?

Supongamos que queremos demostrar que (-1,3) es la solución del sistema lineal de ecuaciones:

-2 x + y = 5 (Ecuación A)

x + y = 2 (Ecuación B)

Aquí hay algunas formas de demostrar que la solución es (-1,3).

Sustitución

Si sustituimos -1 por x y 3 por y , cada ecuación proporcionaría afirmaciones verdaderas.

-2 (-1) + 3 = 5 (Ecuación A) que es 2 +3 = 5 o 5 = 5 es un enunciado verdadero

-1 + 3 = 2 (Ecuación B) que es 2 = 2 es un enunciado verdadero

Graficar

Para graficar fácilmente las ecuaciones anteriores, reescribiríamos las ecuaciones de esta manera:

y = 2 x + 5 (Ecuación A reescrita) ROJO

y = – x + 2 (Ecuación B reescrita) VERDE

Nuestro gráfico mostraría que nuestra solución o punto de intersección ( x , y ) sería (-1,3).

Algebraicamente – Eliminación

Si presentamos estas ecuaciones así:

2 x + 5 = y = – x + 2

Entonces esto es lo mismo que: 2 x + 5 = – x + 2 aplicando la propiedad de la suma de la igualdad, sumando x en cada lado de la ecuación.

Entonces obtenemos 3 x + 5 = 2. Dado que – x y + x se cancelan, agregue -5 en cada lado de la ecuación. Se cancelan, nos quedamos con 3 x = -3. Aplicar la propiedad de igualdad de la multiplicación, multiplicando cada lado de la ecuación por 1/3. Dejándonos con:

x = -1.

Si sustituimos el valor de x en cualquier ecuación, encontramos que nuestro valor de y es 3. Entonces, encontramos que nuestro punto de intersección o solución es (-1,3)

¿Y si no presentamos estas ecuaciones de esta manera? ¿Qué pasaría si multiplicamos la ecuación A por 3 y la sumamos a la ecuación B, obtendríamos la misma solución (-1,3)? Probémoslo y veamos si lo hacemos.

Si multiplicamos la ecuación A, -2 x + y = 5 por 3 obtendríamos 3 (-2 x + y ) = 3 (5) o

-6 x + 3 y = 15 entonces cuando lo sumamos o combinamos a la Ecuación B, tendríamos -5 x + 4 y = 17 entonces cuando sustituimos -1 por x y 3 por y obtendríamos -5 (-1 ) + 4 (3) = 17, una afirmación verdadera.

Esto demuestra que no importa cómo apliquemos estas propiedades a nuestras ecuaciones combinadas. Aún tenemos la misma solución o punto de intersección. La apariencia de nuestras ecuaciones es diferente, pero el punto de intersección es el mismo.

Pero aún se estará preguntando, ¿por qué tendríamos que hacer esto?

Echemos un vistazo a nuestro sistema original de ecuaciones:

-2 x + y = 5 (Ecuación A)

x + y = 2 (Ecuación B)

Se aplicarían estas propiedades de igualdad. Solo necesitamos ser más estratégicos al usarlos.

Fíjate, si elegimos estratégicamente por qué multiplicamos cada lado, cuando combinamos nuestras ecuaciones, una de nuestras variables desaparecerá …

Si MULTIPLICAMOS la Ecuación B por 2, tendríamos 2 ( x + y ) = 2 (2) o 2 x + 2 y = 4 y lo COMBINAMOS con la Ecuación A obtendríamos:

-2 x + y = 5 (Ecuación A)

2 x + 2 y = 4 (Ecuación B) después de multiplicar la ecuación de cada lado por 2

Luego combínalo o agrégalo con la Ecuación A

3 y = 9 Observe que -2 x y 2 x se cancelan, luego multiplíquelo por 1/3 (o divida por 3)

y = 3

Sustituya y = 3 en la Ecuación B original, obtendríamos x + y = 2 o x + 3 = 2 o x = -1. La solución sigue siendo (-1,3).

Ok, veamos otro problema:

4 x + 5 y = 22 (Ecuación C)

5 x – y = 13 (Ecuación D)

Multiplique la ecuación D en CADA lado por 5,

4 x + 5 y = 22 (Ecuación C) sería 4 x + 5 y = 22

5 (5 x – y ) = 5 (13) (Ecuación D) sería 25 x -5 y = 65

Combinar añadiendo

29 x + 0 y = 87

29 x = 87

x = 3

Elija la Ecuación C o D original para resolver y .

Si elegimos

4 x + 5 y = 22 (Ecuación C) y sustituya 3 por x ,

4 (3) + 5 y = 22

12 +5 y = 22 Suma -12 a cada lado

5 y = 10

y = 2

Nuestro par ordenado ( x , y ) = (3, 2)

Usando la Ecuación D original, verificando nuestra solución:

5 x – y = 13 (Ecuación D)

5 (3) – (2) = 13

15 – 2 = 13

13 = 13

El par ordenado (3,2) es la solución del sistema de las ecuaciones C y D.

Resumen

En resumen, esta lección revisó:

– Métodos de sustitución, representación gráfica y eliminación para probar la misma solución,

– Propiedades de la igualdad de suma y multiplicación para resolver las variables especificadas, y

– Estrategia para combinar las ecuaciones lineales para encontrar el punto de intersección,

resolver sistemas de ecuaciones lineales usando combinaciones lineales.

Es importante tener un cuidado especial, sin prisas, para asegurarnos de que pensamos en nuestra estrategia de lo que estamos haciendo. Recuerde pensar qué variable eliminar PRIMERO, antes de combinar las ecuaciones. ¡También observe sus signos en los cálculos!

Antes de que te des cuenta, descubrirás que tú y tus ecuaciones tendrán mucho en común. ¡Ambos se darán cuenta de que tienen una estrategia para ir al grano!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador