¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineal?
¿Cómo sabes si tienes un sistema de ecuaciones? ¿Cuántas ecuaciones necesitas para hacer un sistema? ¿Cómo deben verse las ecuaciones? ¿Qué hace que una ecuación no sea lineal? Antes de que pueda aprender a resolver un sistema de ecuaciones no lineal, primero necesita saber cómo reconocer uno.
Un sistema de ecuaciones se compone de dos o más ecuaciones independientes. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales. Una ecuación no lineal contiene un término que tiene un exponente, como x 2 o y 2 (podría verse como 4 x 2 + 3 y = 12), mientras que una ecuación lineal no lo tiene (algo como 5 x – 7 y = 10 ). Entonces, un sistema no lineal de ecuaciones tiene dos o más ecuaciones con al menos un término elevado a una potencia (que tiene un exponente de dos o más) y una de las ecuaciones tiene un producto de variables.
¿Cuáles de los siguientes crees que son sistemas de ecuaciones?
 |
¡El primero definitivamente no es un sistema de ecuaciones porque está completamente solo! Recuerde que necesita al menos dos ecuaciones para tener un sistema. Los otros son sistemas de ecuaciones, pero ¿notó que solo uno es un sistema de ecuaciones no lineal? ¡Así es! Solo el último es no lineal, porque contiene x 2 .
Cómo resolver sistemas de ecuaciones no lineales
Ahora que sabe cómo identificar un sistema de ecuaciones no lineal, veamos cómo resolverlo. Comenzaremos con un ejemplo sencillo.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
x 2 = 2 y + 6
x 2 = 3 y + 7
¿Qué significa exactamente resolver un sistema de ecuaciones? La solución es el punto (o puntos, puede haber más de uno) donde se cruzan las gráficas de las dos ecuaciones. Graficar las dos ecuaciones anteriores le mostrará que hay dos puntos de intersección para este sistema de ecuaciones, por lo que debería haber dos soluciones.
 |
Puede estimar la solución a partir de un gráfico como este, pero también es útil poder encontrar la solución analíticamente. Dado que x 2 = 2 y + 6 y x 2 = 3 y + 7, entonces 2 y + 6 también debe ser igual a 3 y + 7.
Balanceo de Ecuaciones Químicas por Método Algebraico
2 y + 6 = 3 y + 7
Acabamos de eliminar los términos x 2 y ahora tenemos una ecuación fácil de resolver. Para resolver esta ecuación, reorganice los términos para obtener y por sí mismo. Si necesita una revisión de cómo resolver ecuaciones lineales como esta, ¡asegúrese de consultar una de nuestras otras lecciones de álgebra!
2 y – 3 y = 7 – 6
– y = 1
y = -1
¿Cómo entrenan los Sistemas de IA?
¡Espere! El problema aún no ha terminado. Sabemos qué es y , pero ¿qué pasa con x ? Para encontrar x , sustituya el valor que acabamos de encontrar para y en cualquiera de las dos ecuaciones originales.
x 2 = 3 (-1) + 7
x 2 = 4
x = +2 o x = -2
Entonces, los dos puntos de intersección son (2, -1) y (-2, -1) y estas son las soluciones del sistema de ecuaciones.
Problemas más desafiantes
Las soluciones al problema anterior eran ambos números enteros, pero no siempre es así. Veamos un problema que es un poco diferente.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
y = x 2 + 5 x – 7
y = 4 x +3
Al igual que en el primer problema, las soluciones de este sistema son los puntos donde las dos ecuaciones se superponen en un gráfico.
 |
Con solo mirar el gráfico, puede ver que las soluciones están en algún lugar alrededor de (2.5,13) y (-3.5, -12), pero podemos ser más exactos que eso. Para encontrar las soluciones exactas, iguale las dos ecuaciones (podemos hacer esto ya que ambas son iguales a la misma cosa, y ).
x 2 + 5 x – 7 = 4 x +3
Ahora, podemos intentar resolver para x , pero como esta sigue siendo una ecuación cuadrática, para resolverla, necesitamos obtener todos los términos en el mismo lado, así:
x 2 + x – 10 = 0
Esta es una ecuación que no se puede factorizar, por lo que para encontrar la solución, debes usar la fórmula cuadrática. Para una ecuación en la forma a x 2 + b x + c = 0, la fórmula cuadrática es:
 |
En nuestra ecuación a = 1, b = 1 y c = -10, entonces, usando la fórmula cuadrática, la solución será:
 |
Esto significa que los valores de x de la solución son aproximadamente -3,702 y -2,702, que se acercan a lo que predijimos en la gráfica.
Ahora, para encontrar los valores de y de la solución, elija cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituya los valores de x que acabamos de encontrar.
 |
Los valores de y aproximados son 13.806 y -11.806, lo que también concuerda con nuestras predicciones. Si bien no debe usar el gráfico para obtener una respuesta exacta, siempre es una buena idea verificar y asegurarse de que su álgebra esté de acuerdo con lo que ve.
Resumen de la lección
Para resolver un sistema no lineal de ecuaciones, puede graficar ambas ecuaciones y luego ver dónde se cruzan las dos gráficas. Estos puntos de intersección serán las soluciones del sistema de ecuaciones. Esto le dará una estimación de la solución, pero para encontrar una respuesta exacta, deberá resolver ambas ecuaciones para una de las variables y luego igualarlas entre sí. Esto eliminará una variable y le dará una ecuación que puede resolver para x o y . Luego, sustituye el valor que encuentres nuevamente en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el resto de la solución.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
