Sistemas de ecuaciones
Imagine que está colocando una piscina circular enterrada en su patio trasero. Debe tener cuidado con el cable subterráneo que atraviesa su jardín. No está seguro de dónde está exactamente, pero sabe que está enterrado allí en alguna parte. ¿En cuántos lugares podría cruzarse el cable con la piscina circular?
Si la piscina se construye justo sobre el cable, se cruzaría en dos lugares. La piscina podría construirse en el borde del cable y luego solo se cruzaría en un lugar. Podría tener suerte y construir la piscina sin cruzar el cable en absoluto.
Estas posibilidades son válidas para todos los círculos y líneas en el plano de coordenadas. Podemos tener sistemas de ecuaciones que modelen esta situación con un círculo y una línea. Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones con las mismas variables. Los sistemas de ecuaciones pueden contener muchos tipos diferentes de ecuaciones. Independientemente del tipo de ecuaciones que se nos den, la solución de un sistema de ecuaciones es el punto o puntos donde se cruzan las gráficas de las ecuaciones. Esto significa que tenemos una coordenada xy una y para cada punto de intersección.
Ejemplo 1
Encuentra la solución del sistema de ecuaciones.
Balanceo de Ecuaciones Químicas por Método Algebraico
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Primero, debemos determinar qué tipo de ecuaciones se nos dan. La primera ecuación es la ecuación de un círculo y la segunda es la ecuación de una parábola.
Para graficar el círculo, encontramos el centro y el radio de la ecuación. El centro es (2, 0) y el radio es 4.
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¿Qué es la Ecuación de Estado de los Gases Reales?
Para graficar la parábola, conectamos los valores de x para encontrar puntos para graficar. Obtenemos puntos (1, -5), (2, -4) y (3, -5).
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La solución a este sistema de ecuaciones es el punto donde estas dos figuras se superponen.
¿Qué es la Ecuación de Van der Waals?
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La solución es (2, -4). Ahora, deberíamos comprobar nuestra solución para asegurarnos de que hemos hecho todo correctamente. Para comprobarlo, volvemos a conectar el punto en ambas ecuaciones y nos aseguramos de que funcione.
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Ejemplo 2
Encuentra la solución del sistema de ecuaciones.
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Primero, debemos determinar qué tipos de gráficos tenemos. La primera es la ecuación de una línea y la segunda es la ecuación de una parábola. Para graficar la línea, necesitamos la pendiente y la intersección con el eje y. La pendiente es 1 y la intersección con el eje y es 1.
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A continuación, graficamos la parábola. Si elegimos valores de x para insertarlos en la ecuación para encontrar puntos, obtenemos (-2, 5), (-1, 2), (0,1), (1, 2) y (2, 5).
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Ahora, podemos ver dónde se cruzan las dos gráficas. Hay dos puntos en los que se cruzan y ambas son las soluciones.
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Por último, debemos verificar nuestras soluciones en ambas ecuaciones.
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Resumen de la lección
Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones que podemos encontrar:
- Una línea y una parábola se cruzarán en un punto, dos puntos o ningún punto
- Una línea y un círculo se cruzarán en un punto, dos puntos o ningún punto
- Una parábola y un círculo se cruzarán en un punto, dos puntos, tres puntos, cuatro puntos o ningún punto.
Hay cuatro pasos para encontrar la _solución de un sistema de ecuaciones_ graficando:
- Determina el tipo de ecuación que te dan
- Grafica cada ecuación en el mismo plano de coordenadas
- Encuentre los puntos donde se cruzan las gráficas
- Verifique su (s) solución (es) conectando los puntos nuevamente en ambas ecuaciones
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