Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices

Resolver sistemas de ecuaciones

Una de mis tiendas de barrio favoritas es la tienda de conveniencia sin nombre. Venden mucha comida a precios maravillosos. Pero esta es una tienda de bajo costo. Las latas no están etiquetadas y los precios no se cotizan. Usted selecciona su producto y lo paga en efectivo. Esta mañana compré 4 latas de sopa y 3 latas de atún. Todo por $ 6,50. Por la tarde, regresé y pagué $ 2 por 1 lata de sopa y 1 lata de atún. No se dan recibos en esta tienda. El costo de cada artículo es obvio. ¿O es eso?

Usando matrices, configuraremos y resolveremos las ecuaciones para determinar el costo de cada artículo.

Configurar las ecuaciones

La compra matutina de $ 6.50 de 4 latas de sopa y 3 latas de atún podría escribirse:

La tarde de compras por 1 lata de cada una por un total de $ 2 es la ecuación:

Una matriz es conveniente para almacenar los datos en este sistema de ecuaciones . El número de latas comprados son los coeficientes de las variables s y t . Estos coeficientes se colocan en una matriz de 2 filas y 2 columnas. Llamemos a esto la matriz A y escribamos como:

Se acostumbra escribir Ax = b donde la x es una matriz con una sola columna que contiene las variables desconocidas. En nuestro caso, x tiene las variables s y t . La b es el lado derecho de las ecuaciones. Para nosotros, eso es el 6.5 y el 2.

Para incluir el lado derecho de las ecuaciones dentro de la matriz, escribir una nueva matriz denominada C . Esta matriz se llama matriz aumentada porque hemos hecho la matriz A ‘más grande’. Aquí está la matriz C :

Antes de resolver los precios de los alimentos sin nombre, veamos algunas operaciones que podemos hacer con la matriz aumentada.

Operación en la matriz aumentada

Cambiar una fila por otra en la matriz aumentada es como reordenar las ecuaciones. Multiplicar una fila por una constante es como multiplicar cada lado de una ecuación por el mismo número. Ambas acciones están permitidas con ecuaciones ordinarias. Además, podemos agregar una fila a otra fila . Esto tiene sentido en términos de cómo funcionan las ecuaciones porque los lados izquierdos son iguales a los lados derechos.

La estrategia de resolución es continuar operando en las filas de la matriz aumentada hasta que:

Terminamos cuando la matriz identidad ha reemplazado a la matriz A. Una matriz de identidad tiene unos a lo largo de la diagonal y ceros en todas partes. El valor de b 1 será la solución de s mientras que el valor de b 2 es la solución de t .

Si multiplicar matrices es algo nuevo, aquí hay un breve ejemplo. Digamos que nos gustaría multiplicar las siguientes dos matrices:

La matriz resultante tendrá 2 filas y 2 columnas. La fila 1 de la primera matriz es [2 3]. Multiplique esto con la columna 1 de la segunda matriz. Esta es una multiplicación término por término donde sumamos los productos. Es 2 (6) + 3 (8) = 12 + 24 = 36. Este 36 se ingresa como la primera fila, primera columna en la matriz de resultados. La fila 1 de la primera matriz multiplicada por la columna 2 de la segunda matriz es 2 (7) + 3 (9) = 14 + 27 = 41, que colocamos en la primera fila, segunda columna de la matriz de resultados. La primera matriz, fila 2 multiplicada por la segunda matriz, columna 1 da 4 (6) + 5 (8) = 64. Y la primera matriz, fila 2 multiplicada por la segunda columna de matriz 2 es 4 (7) + 5 (9) = 73. La multiplicación de matrices completada es:

Resolver el sistema de ecuaciones

Para resolver nuestro sistema de ecuaciones, queremos convertir la parte A de nuestra matriz aumentada (las primeras 2 filas y 2 columnas) en la matriz identidad. Observe que la segunda fila de la matriz C para los precios de nuestras tiendas de conveniencia tiene un 1 en la primera entrada.

Podríamos intercambiar la primera fila con la segunda fila. Luego, la entrada de la primera fila, la primera columna se establecería en 1. La abreviatura de este intercambio es R 1 ↔ R 2 . En palabras: la fila 1, R 1 , se intercambia con la fila 2, R 2 . Este intercambio de filas puede ocurrir multiplicando la matriz C con la siguiente matriz E :

¡Es como magia! Multiplicando por la matriz E , hace un intercambio de filas:

A continuación, nos gustaría que el 4 de la columna 1 de la fila 2 fuera un cero.

Simplemente multiplique la primera fila por -4 y sume el resultado a la fila 2. No cambiamos la fila 1. En forma abreviada, -4R 1 + R 2 → R 2 . La matriz que hace esta multiplicación y suma es M 1:

Así,

Tenga en cuenta que a medida que continuamos transformando la parte A de la matriz C , la tercera columna cambia. A continuación, convierta el -1 en un +1:

La abreviatura es (-1) R 2 → R 2 . Utilice la matriz M 2:

Esto da

Finalmente, cambie el 1 en la fila 1 columna 2 a un cero, que es (-1) R 2 + R 1 → R 1 . Utilice la matriz M 3 :

El resultado final:

Dos observaciones clave. Primero, la solución es la tercera columna. El costo de una lata de sopa es de $ .50 y el atún cuesta $ 1.50 por lata. En segundo lugar, el producto de las matrices de cambio M 3 M 2 M 1 E con la matriz A ha convertido la A en la matriz identidad.

Esta es la definición de la inversa de A escrita A -1 . Así,

Multiplicar cualquier matriz con n filas yn columnas por su inversa nos dará la matriz identidad. Podemos usar operaciones matriciales aumentadas para resolver sistemas con 3, 4 o más ecuaciones; solo estaremos trabajando con matrices más grandes. ¡Todo esto para tener un precio informado en la tienda sin nombre! Me pregunto cuánto me costará una lata de jamón.

Resumen de la lección

Los sistemas de ecuaciones se pueden resolver utilizando matrices. Primero escribimos una matriz aumentada donde los números del lado derecho se agregan como una columna adicional a la matriz A. Los coeficientes de las variables constituyen la Una matriz . Luego, usando la multiplicación de matrices con matrices de cambio , cambiamos la matriz aumentada hasta que una matriz identidad haya reemplazado a la matriz A. La columna agregada ahora contiene la solución del sistema de ecuaciones. Multiplicando las matrices de cambio juntos nos da la inversa de la Una matriz .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador