Resolver sistemas especiales de ecuaciones lineales

Sistemas especiales de ecuaciones lineales

Suponga que está sentado en una clase de álgebra y sucede algo gracioso: ¡su maestro llama su atención! Esto sucede cuando dice que va a interrumpir la clase por 5 minutos si alguien en la clase se puede encontrar dos números, X e Y , de modo que las dos ecuaciones siguientes son verdaderas:

y = 3 x + 2

y – 3 x = 0

Te emocionas porque recuerdas que este es un sistema de ecuaciones lineales, ¡y sabes cómo resolverlas!

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales con las mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.

Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales algebraicamente, podemos usar sustitución o eliminación . Para simplificar, usaremos la sustitución en esta lección, que incluye los siguientes pasos:

1. Resuelve ambas ecuaciones para la misma variable, digamos y .
2. Establezca las dos expresiones para esa variable iguales entre sí.
3. Resuelve la ecuación resultante para la otra variable, llámala x .
4. Reemplaza el valor que encuentres para x en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelve para y .

¡Resolvamos este sistema de ecuaciones para que puedas irte a casa temprano! Primero, resolvemos ambas ecuaciones para y . Esto solo debe hacerse para la segunda ecuación.

y – 3 x = 0

Si sumamos 3 x a ambos lados para resolver y , obtenemos:

y = 3 x

De acuerdo, tenemos y = 3 x + 2 e y = 3 x , así que establecemos 3 x + 2 igual a 3 x y resolvemos para x .

¿Eh? Eso no tiene ningún sentido, ¡porque 2 no puede ser igual a 0! Resulta que tu maestro te aplicó una rápida. Verá, este sistema es un tipo especial de sistema que no tiene solución. ¡Uf! ¡Demasiado para ir a casa temprano!

Hay dos tipos de sistemas especiales de ecuaciones lineales; los que no tienen solución y los que tienen infinitas soluciones . Consideremos lo que sucede cuando intentamos resolver este tipo de sistemas tanto gráfica como algebraicamente.

Resolver gráficamente

Hablando gráficamente, la solución de un sistema lineal de ecuaciones es el punto en el que las gráficas de las ecuaciones del sistema se cruzan. Pensemos en esto. Si un sistema no tiene solución, ¿qué crees que eso significa para la gráfica del sistema? ¡Lo adivinaste! Dado que el sistema no tiene solución, las gráficas de las ecuaciones del sistema no se cruzan.

¿Ves cómo las gráficas de las ecuaciones en el sistema que te dio tu maestro son paralelas, por lo que no se cruzan? Esto nos dice que no hay solución para el sistema.

Ahora, considere un sistema con infinitas soluciones. Cuando este es el caso, las ecuaciones en el sistema son la misma ecuación, solo que en diferentes formas, por lo que todas las soluciones de una ecuación son una solución de la otra también. ¿Qué creemos que esto significa gráficamente? Si estás pensando que las gráficas de las ecuaciones del sistema serían la misma gráfica, ¡tienes razón! Como son la misma ecuación, tienen la misma gráfica.

Vemos que los sistemas con infinitas soluciones tienen infinitos puntos de intersección.

Resolver algebraicamente

Consideremos ahora resolver algebraicamente. Observe que mientras resolvía el sistema sin la solución que le dio su maestro, se encontró con una declaración que no tenía sentido (2 = 0). Esto es lo que siempre sucede cuando se intenta resolver un sistema sin solución algebraicamente. Terminará con una afirmación falsa, como 5 = 1 o 0 = 4. Cuando esto suceda, puede detener el proceso de resolución y afirmar que el sistema no tiene solución.

Ahora, veamos qué sucede cuando intentamos resolver un sistema con infinitas soluciones usando sustitución. Considere el ejemplo que graficamos.

y = 2 x – 4

y = 2 ( x – 2)

El primer paso está hecho por nosotros, ya que ambas ecuaciones se resuelven para y , por lo que establecemos estas dos expresiones iguales e intentamos resolver para x .

Terminamos con la declaración -4 = -4, ¡que siempre es cierta! En general, al intentar resolver un sistema con infinitas soluciones, se encontrará con una afirmación que siempre es cierta, como 0 = 0 o x = x .

Resumen de la lección

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales con las mismas variables. Hay dos tipos de sistemas especiales de ecuaciones lineales; los que no tienen solución y los que tienen infinitas soluciones .

Al resolver un sistema gráficamente, un sistema sin solución tendrá ecuaciones con gráficas que nunca se cruzan, y un sistema con infinitas soluciones tendrá ecuaciones con la misma gráfica, porque las ecuaciones en el sistema son en realidad la misma ecuación.

Al resolver un sistema algebraicamente, un sistema sin solución terminará con un enunciado que siempre es falso, como 0 = 1, y un sistema con infinitas soluciones terminará con un enunciado que siempre es verdadero, como 3 = 3.

Tener en cuenta estas reglas será muy útil al resolver sistemas de ecuaciones lineales. Solo recuerda:

• Sin solución = Sin puntos de intersección gráficamente = Una declaración falsa algebraicamente
• Infinitas soluciones = Infinidad de puntos de intersección gráficamente = Un enunciado verdadero algebraicamente

Rodrigo Ricardo Editor y fundador