Rodrigo Ricardo

Serie infinita: aplicaciones, fórmulas y ejemplos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Karl se está entrenando para correr una carrera de maratón; sin embargo, tiene un plan de entrenamiento inusual. El primer día de entrenamiento, corre una milla. Al día siguiente, corre 1/2 milla y al día siguiente corre 1/4 de milla más. Cada día subsiguiente ejecuta la mitad de lo que corrió el día anterior. Si mantiene este entrenamiento para siempre, ¿cuántas millas habrá corrido? Aunque este entrenamiento es una forma inusual de entrenar para un maratón, ilustra una situación que requeriría el uso de una serie infinita. Esta lección ilustrará el uso de series infinitas y dará ejemplos de series comunes, así como sus aplicaciones.


Notación de suma
Notación sigma

Para encontrar la distancia que corrió Karl, agregaríamos 1 milla + 1/2 milla + 1/4 de milla + 1/8 de milla + 1/16 de milla. . . . Observe cómo cada término se puede escribir como 1 / (una potencia de dos) o 1 / (2 ^ n). Si n va de 0 a infinito, entonces el entrenamiento de Karl se puede representar con la imagen de notación de suma. Después de dos días, Karl ha corrido 1 1/2 millas. Le queda 1/2 milla para correr antes de llegar a las dos millas. En el tercer día, corre 1/4 de milla por un total de 1 3/4 millas, dejando 1/4 de milla para correr antes de llegar a las dos millas. Este patrón continuará para que corra la mitad cada día de lo que le queda antes de recorrer dos millas. Nunca llegará completamente a dos millas porque corre la mitad de lo que le queda. Así que 2 millas es el límite de la distancia que corre.

Definiciones

Una serie infinita es la suma de un número infinito de términos. Una gran cantidad de vocabulario está asociado con series infinitas y varias de ellas se enumeran a continuación.

La notación de suma está representada por la letra griega mayúscula sigma. Indica que todos los elementos de la lista se sumarán.

Sumados : los elementos de la secuencia que se van a agregar (en la imagen de notación de suma, los sumandos son 1/2 ^ n).

Índice : la letra y el número más pequeños que se encuentran debajo de la sigma. Muy a menudo se representa con una n e indica qué sumandos se utilizarán. Al agregar los elementos de la serie, comienza con el número debajo del sigma y continúa agregando hasta que alcanza el número por encima del sigma. Con una serie infinita, el número sobre el sigma será el símbolo de infinito, lo que significa que sigues sumando.

Secuencia : conjunto de términos o números que se han colocado en orden.

Serie : una secuencia que se ha sumado. Esta secuencia puede ser un número limitado de términos, denominada serie finita, o tener términos que continúan hasta el infinito, denominada serie infinita.

Suma parcial : cuando se ha sumado un número finito (fijo) de términos en una serie infinita. En una serie infinita, la suma parcial se acercará al límite de la serie.

Serie finita : cuando se suma un número fijo (finito) de términos.

Con una serie infinita, la principal preocupación es la convergencia . ¿Se acerca la suma de términos infinitos a un valor establecido? Este valor establecido sería su límite . Si una serie infinita tiene un límite, entonces es una serie convergente. Si no es así, es una serie divergente . Una serie será convergente si los sumandos cuando n es muy grande son equivalentes a cero. Una serie infinita también es convergente a un límite L si la suma de la suma parcial de esa misma serie es igual al mismo límite L . Podemos probar la convergencia de muchas maneras: prueba de n -ésimo término, prueba de comparación, prueba de relación y prueba de condensación de Cauchy son algunas de ellas.

Fórmulas

Usamos muchos tipos diferentes de series infinitas. La imagen ‘Tipos de series infinitas’ muestra varias de las series infinitas más utilizadas.


Tipos comunes de series infinitas
KindOfSeries

Ejemplos

Cuando n va de cero a infinito: los sumandos son 2/10 ^ 1, 2/10 ^ 2, 2/10 ^ 3. . . . Esta secuencia de fracciones se puede escribir como serie decimal: .2 + .02 + .002 + .0002. . . . Cuando sumamos los términos de la serie, el resultado es el decimal .2222222. . . . Como fracción, este número es 2/9. El límite de esta serie es 2/9. Tiene un límite, por lo que es convergente.


Serie convergente infinita
Serie convergente infinita

A medida que n va de cero a infinito: los sumandos son 3 ^ 0, 3 ^ 1, 3 ^ 2, 3 ^ 3, 3 ^ 4. . . . Esta secuencia de términos se puede escribir como la serie de números enteros: 1 + 3 + 9 + 27 + 81.. . . Dado que los sumandos se hacen cada vez más grandes, la suma no se acerca a ningún número ni a ningún límite. Como no tiene límite, esta serie infinita es divergente.


Serie infinita divergente
Serie divergente

Aplicaciones

Las series infinitas tienen aplicaciones en ingeniería, física, informática, finanzas y matemáticas. En ingeniería, se utilizan para analizar el flujo de corriente y las ondas sonoras. En física, las series infinitas se pueden usar para encontrar el tiempo que tarda una pelota que rebota en detenerse o el movimiento de un péndulo en detenerse. En informática, pueden crear funciones y, en finanzas, pueden calcular multiplicadores fiscales. Las series infinitas en el campo de las matemáticas se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales y aproximar funciones.

Resumen de la lección

Las series infinitas toman una lista interminable de números y los suman. Este proceso se representa con la letra mayúscula sigma seguida de la regla para encontrar los miembros del conjunto que se agregarán. Esas sumas se acercarán a un número determinado, llamado límite, o seguirán sumando hasta el infinito. Si se acercan a un cierto límite, se dice que convergen; de lo contrario, divergen. Las series infinitas comunes son las series geométrica, aritmética, telescópica, alterna y de potencia. Se utilizan con mucha frecuencia en matemáticas, física e ingeniería.

¡Puntúa este artículo!