Sistema consistente de ecuaciones: definición y ejemplos

Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que tienen las mismas variables. Por ejemplo, considere el conjunto de las siguientes dos ecuaciones:

2 x + y = 8

-4 x – 3 y = -20

Este es un sistema de ecuaciones en x y y . El conjunto de solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de todos los valores de las variables que hacen que cada una de las ecuaciones del sistema sea verdadera. Por ejemplo, la solución establecida para el sistema de ecuaciones anterior es x = 2 e y = 4 porque si conectamos estos valores para x e y en cada una de las ecuaciones, hacen que las ecuaciones sean verdaderas:

2 (2) + 4 = 8

-4 (2) – 3 (4) = -20

El conjunto de soluciones también se puede considerar como el conjunto de puntos de intersección en las gráficas de las ecuaciones del sistema. Esta imagen muestra la gráfica de nuestro sistema de ecuaciones. Observe que su punto de intersección es (2,4):

Para ilustrar cómo se pueden usar estos sistemas, consideremos un ejemplo. Suponga que quiere comprar un pañuelo azul o rojo. No puede decidir qué color desea, por lo que decide elegir el que sea más barato. Conoce el minorista en el que desea comprar la bufanda, pero no conoce el precio de cada una de las bufandas. Sin embargo, dos de tus amigos compraron bufandas allí y tienen sus recibos.

Tu primer amigo compró 1 bufanda azul y 1 bufanda roja y pagó $ 35.00 en total. Tu otro amigo compró 2 pañuelos azules y 3 pañuelos rojos y pagó $ 85.00. Si hacemos que b = el costo de una bufanda azul y r = el costo de una bufanda roja, podemos establecer un sistema de ecuaciones para representar la situación:

b + r = 35

2 b + 3 r = 85

Observe que si introducimos 20 para by 15 para r en cada una de las ecuaciones, ambas ecuaciones son verdaderas:

20 +15 = 35

2 (20) + 3 (15) = 85

Por tanto, (20,15) es la solución; es decir, un pañuelo azul cuesta $ 20 y un pañuelo rojo cuesta $ 15. Así, decides que te vas a comprar el pañuelo rojo.

Un sistema consistente de ecuaciones

Cuando se trata de la solución de un sistema de ecuaciones, hay tres posibles resultados:

1. Un número finito de soluciones
2. Infinitas soluciones
3. Sin solución

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar en dos categorías: consistentes e inconsistentes. Un sistema consistente de ecuaciones es un sistema que tiene al menos una solución. Un sistema de ecuaciones inconsistente es un sistema que no tiene solución. Así, de las tres posibilidades de solución de un sistema, vemos que las dos primeras posibilidades representan sistemas consistentes porque tienen al menos una solución, y la tercera posibilidad representa un sistema inconsistente porque no tiene solución.

Ejemplos y no ejemplos

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

4 x – y = 1

-8 x + 2 y = 4

Ahora, examinemos la gráfica de este sistema:

Observe que la gráfica muestra que parece que las dos líneas de las ecuaciones son paralelas. Las líneas paralelas nunca se cruzan, pero la solución del sistema consiste en todos los puntos de intersección del sistema. Dado que las líneas nunca se cruzan, no hay puntos en nuestra solución. Esto nos dice que el sistema no tiene solución. Por tanto, este sistema no es coherente; es un sistema inconsistente. Esto ilustra un no ejemplo de un sistema consistente.

Consideremos otro ejemplo. Suponga que está tratando de encontrar dos números de modo que si multiplicamos el primer número por el segundo número menos 2, obtenemos 0. Además, si elevamos ambos números al cuadrado y los sumamos, obtenemos 13. Si dejamos que x represente el primero número yy representan el segundo número, podemos representar este escenario con el siguiente sistema:

x ( y – 2) = 0

x ^ 2 + y ^ 2 = 13

Observe que la gráfica de las ecuaciones de este sistema se cruzan en dos puntos diferentes:

Vemos que los puntos de intersección de las gráficas son (3,2) y (-3,2). Debido a que el sistema tiene al menos una solución, el sistema es consistente.

Un último ejemplo de un sistema consistente sería un sistema que tiene infinitas soluciones, como la siguiente:

3 x + y = 4

9 x + 3 y = 12

Se muestra la gráfica del sistema:

Observe que las gráficas de las ecuaciones del sistema son la misma gráfica. Esto significa que las gráficas se cruzan en todas partes, por lo que hay infinitas soluciones para el sistema. Este sería un sistema consistente porque tiene al menos una solución.

Resumen de la lección

Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones con las mismas variables. Un conjunto de soluciones para un sistema de ecuaciones consta de todos los valores de las variables que podemos insertar y que harían verdaderas todas las ecuaciones del sistema. También podemos pensar en un conjunto de soluciones como los puntos de intersección de todas las gráficas de las ecuaciones del sistema.

Un sistema de ecuaciones tiene un número finito de soluciones, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Cuando el sistema tiene al menos una solución, llamamos al sistema consistente , y cuando un sistema no tiene soluciones, llamamos al sistema inconsistente . Usamos sistemas de ecuaciones para resolver muchos problemas del mundo real que involucran más de una variable desconocida. Cuando tenemos un sistema consistente, podemos encontrar una solución a nuestro problema, por eso es importante estar familiarizado con este tipo de sistemas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador