Sistema de ecuaciones lineales: definición y ejemplos

Ecuaciones lineales

Imagínese contarle a un amigo sobre su tienda favorita de café y donas. Tu amigo pregunta cuánto cuesta una taza de café y una rosquilla. Si bien no puede recordar cuánto cuesta cada uno individualmente, sí recuerda que la última vez que pidió un café y dos donas, su factura fue de $ 7.00. Y hoy, cuando compró dos cafés y tres donas, su factura fue de $ 12.00.

Lo crea o no, esta es toda la información que necesita para responder la pregunta de su amigo. Para hacer esto, usamos lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación polinomial en la que las variables desconocidas tienen un grado de uno. Es decir, todas las variables desconocidas en una ecuación lineal se elevan a la potencia de uno. En la siguiente imagen se muestran algunos ejemplos de una ecuación lineal.

Estas ecuaciones son ecuaciones polinomiales en las que las variables se elevan a la potencia de uno. En esta otra imagen a continuación se muestran un par de no ejemplos.

En la ecuación, 2 x ^ 2 + 3 y – 4 = 0, la variable x se eleva a la potencia de 2, por lo que esta no es una ecuación lineal. La ecuación, y = 3 x / ( x – 1), no es una ecuación lineal porque, aunque sus variables se elevan a la potencia de uno, no es una ecuación polinomial.

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. Por ejemplo, los conjuntos de la imagen siguiente son sistemas de ecuaciones lineales.

Regresemos a la pregunta que hizo su amigo sobre el costo de una taza de café y una dona en su cafetería favorita. Aquí, c representa el costo de un café y d representa el costo de una dona. La ecuación lineal para su compra de un café y dos donas, que llegó a $ 7,00, se puede escribir de la siguiente manera: c + 2 d = 7. De manera similar, su compra de dos cafés y tres donas, por un total de $ 12,00, puede ser expresado como: 2 c + 3 d = 12.

Ahora, juntemos estas dos ecuaciones. En asociación, nos dan el sistema de ecuaciones lineales necesario para calcular el costo de un café y el costo de una dona.

2 c + 3 d = 12

c + 2 d = 7

Solución del sistema de ecuaciones lineales

Una solución a un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de números que, cuando sustituimos números por variables específicas en el sistema, hace que cada ecuación del sistema sea una declaración verdadera. Por ejemplo, si introducimos 4 para x y 7 para y , ambas ecuaciones del siguiente sistema son afirmaciones verdaderas.

x – y = -3

x + y = 11

Después de resolver las ecuaciones, vemos que 4 – 7 = -3 y 4 + 7 = 11. Por lo tanto, x = 4, y = 7 es una solución del sistema. Es importante tener en cuenta que una solución hace que todas las ecuaciones de un sistema sean verdaderas, no solo algunas de ellas.

Veamos de nuevo el ejemplo de la cafetería. Si conectamos c = 3 y d = 2 en el sistema que representa la situación, ambas ecuaciones son verdaderas.

2 (3) + 3 (2) = 12

3 + 2 (2) = 7

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es c = 3 yd = 2. Dijimos que c representa el costo de un café y d representa el costo de una rosquilla. Por lo tanto, puede decirle a su amigo que, en su cafetería favorita, el costo de un café es de $ 3.00 y el costo de una rosquilla es de $ 2.00.

Problema de práctica

En este problema de práctica, queremos averiguar si a = 5 y b = 1 es una solución al siguiente sistema de ecuaciones:

a – 4 b = 1

3 a – 2 b = 10

Para determinar si a = 5 y b = 1 es una solución al sistema dado de ecuaciones lineales, conectamos 5 para a y 1 para b en cada una de las ecuaciones. Si las respuestas a ambas ecuaciones son verdaderas, forman una solución para el sistema. Primero, asegúrese de que a – 4 * b o 1 sea verdadero: 5 – 4 (1) = 5 – 4 = 1. Ahora, vea si 3 a – 2 b = 10 es verdadero: 3 (5) – 2 (1 ) = 15 – 2 = 13.

Dado que 13 no es igual a 10, a = 5 y b = 1 no satisfacen la segunda ecuación. Por tanto, la respuesta no es una solución al sistema.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación polinomial en la que cada una de las variables desconocidas tiene un grado de uno; es decir, se elevan al poder de uno. Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales, y una solución a un sistema de ecuaciones lineales consta de valores de cada una de las variables desconocidas en el sistema que satisface todas sus ecuaciones, o las hace verdaderas. Estos sistemas de ecuaciones lineales nos permiten resolver problemas cuando hay más de una cantidad desconocida.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador