Sólidos similares
Los mapas, que se asemejan a un collage de cáscaras de naranja en rodajas, tienen ventajas sobre los globos. Por ejemplo, un mapa es plegable, lo que facilita su transporte. Un globo, bueno, es más difícil de caminar; pregúntale al explorador ficticio, Henri du Math.
 |
La ecuación para el área de la superficie de una esfera se puede derivar analizando cortes. En esta lección, estos resultados ayudan a explicar qué sucede con las propiedades de cualquier sólido cuando se transforma en un sólido similar. Henri transformaría una rodaja de naranja en un bocadillo.
Definiciones
Al hacer una versión a escala de un sólido, se crea un sólido similar . La escala se produce multiplicando cada dimensión de definición por el mismo número. Este número es el factor de escala α y para la esfera, el radio r es la dimensión definitoria. Para otros sólidos, las dimensiones definitorias son las longitudes de los lados, radios y alturas. Pero sigue siendo el mismo procedimiento:
- determinar la (s) dimensión (es) definitorias para el sólido
- multiplica cada una de esas dimensiones por un factor de escala α
La creación de un sólido similar tiene efectos predecibles sobre las propiedades del área de la superficie y el volumen.
Área de superficie de una esfera
Continuemos con el mapa global. La «rodaja de naranja» tiene un nombre técnico. Se llama sangre y se asemeja a una elipse puntiaguda. La forma le recuerda a Henri su confiable canoa.
¿Qué es un área protegida?
 |
Imagina la punta inferior en el origen donde tanto x como y son cero. Estamos en el polo sur del globo. Viajar al polo norte es la mitad de la circunferencia del globo. La mitad de la circunferencia es la mitad de 2π r o solo π r. Por tanto, los valores de y son de 0 a π r.
¿Qué pasa con x ?
El seno de 0 es cero y el seno de π es cero. El valor x del gore es cero en dos lugares: y = 0 e y = π r. Considere el pecado ( y / r). Cuando y es cero, sin (0 / r) es cero. Cuando y es π r, sin (π r / r) = sin (π) = 0. El ancho máximo de la sangre se encuentra en el «ecuador», donde el punto medio del eje y es π r / 2. Lo que significa que sin ( y / r) es sin (π r / (2r)) = sin (π / 2) = 1. ¡Genial! sin ( y / r) funciona bien en la ecuación para x .
Área Superficial y Volumen de un Tubo: Ecuación y Cálculo
Cuanto mayor sea la r, mayor será la esfera y mayor será el ancho de la sangre. El gore subtiende un ángulo φ que relaciona el ancho del gore con el radio del círculo a través de la tangente. La tangente de φ / 2 es la mitad del ancho de la sangre dividida por r. Por tanto, en el punto medio de y , la mitad del ancho es r tan (φ / 2). Combinando esto con sin ( y / r):
 |
¿Por qué el más / menos? Para obtener el ancho completo, esta ecuación se evalúa dos veces; una vez para el más y una vez para el menos.
Para encontrar el área de un gore, integre esta función sobre y . Esto da 4 r 2 tan (φ / 2). En términos de n gores, φ es 2π / n, lo que significa que φ / 2 es π / n. Por lo tanto, el área de superficie total de la esfera con n gores es A = 4 nr 2 tan (π / n).
Teoría de Bandas en Sólidos: Fundamentos y Aplicaciones
A medida que n se hace más grande, π / n se vuelve más pequeño, y para estos valores pequeños, π / n se aproxima a tan (π / n). Por lo tanto, a medida que n aumenta , A = 4 nr 2 tan (π / n) se convierte en A = 4 nr 2 (π / n). Las n se cancelan dejando A = 4π r 2 (la ecuación para el área de la superficie de una esfera).
Henri disfrutó del viaje desde el polo sur al polo norte, pero se alegra de haber llegado finalmente a la ecuación del área de la superficie de la esfera , A = 4π r 2 .
Escalada
Se ha cartografiado una esfera de radio 2 con seis cornetas. Debajo hay una esfera similar con radio 4:
 |
Un rectángulo con una longitud de 2π r y un ancho de π r cabría sobre un mapa de sangre. La esfera más pequeña con r = 2 tiene longitud 2π r = 2π (2) = 4π y ancho π r = π2 = 2π. El área del rectángulo es largo por ancho = (4π) (2π) = 8 π ^ 2. Para la esfera más grande de radio r = 4, el área es (8π) (4π) = 32π; superficie cuatro veces mayor.
Por lo tanto, la escala de α aumenta el área de superficie en un factor de α ^ 2.
Esto es importante para Henri porque escalar su canoa por α significa α ^ 2 más área de superficie y α ^ 2 más pintura para cubrir su canoa.
Volumen de una esfera
Una esfera de radio r tiene un volumen V = r 4π 3 /3. Aquí hay una esfera con radio r = 2:
 |
Si se usa un factor de escala α de 2 para crear una esfera similar, el nuevo radio es α (2) = 4 pero el nuevo volumen es α ^ 3 = 8 veces mayor. Claramente, la esfera más pequeña cabe fácilmente dentro de la esfera más grande, cuyo volumen es 8 veces mayor.
 |
Para ver donde α ^ 3 proviene de, aR substitude para r en V = R 4π 3 /3. Obtenemos V nuevos = 4π (aR) 3 /3 = (α) ^ 3 4π r 3 /3 = (α) ^ 3 V.
Otros sólidos
Un sólido similar se produce multiplicando la (s) dimensión (es) definitorias por un factor de escala α. La nueva superficie será α ^ 2 veces la superficie anterior. El nuevo volumen será α ^ 3 veces el volumen anterior. Esto es válido para todos los sólidos.
Una lista parcial de sólidos y dimensiones definitorias:
- esfera: radio r
- cilindro: radio r, longitud l
- cubo: lado s
- cono: radio r, altura h
- sólido rectangular: largo l, ancho w, alto h
Resumen de la lección
Se crea un sólido similar haciendo una versión a escala del sólido original. La escala se logra multiplicando cada dimensión de definición por un factor de escala . La dimensión definitoria es específica para cada tipo de sólido. Para una esfera es el radio r; para un cubo es el lado s. Los gores son cortes elípticos puntiagudos que se utilizan para transformar una esfera en un mapa y son útiles para visualizar el área de superficie de una esfera. El área de la superficie y el volumen son propiedades de un sólido. El área de la superficie de un sólido escalado es el cuadrado del factor de escala multiplicado por el área de la superficie del sólido original. Para los volúmenes, el volumen original se multiplica por el factor de escala al cubo.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
