Subconjuntos en matemáticas: definición y ejemplos

Definición de un conjunto

Antes de definir un subconjunto, debemos actualizarnos sobre lo que es un conjunto. Un conjunto es una colección de elementos u objetos. Estos elementos suelen estar relacionados de alguna manera, pero esto no es necesario. Sin embargo, cada elemento debe ser discernible de los demás elementos del conjunto. En otras palabras, necesitamos poder distinguir un elemento de otro. Probablemente sea mejor mostrar algunos ejemplos de conjuntos.

‘Todos los estados de los Estados Unidos’ es un ejemplo de un conjunto con 50 elementos. Pero también podríamos hacer un conjunto de solo dos estados.

• Por ejemplo, podríamos crear un conjunto que tenga solo Nebraska y Ohio como sus elementos: A = {Nebraska, Ohio}.
• Todas las letras del alfabeto inglés es un ejemplo de un conjunto con 26 elementos. Pero nuevamente, podríamos crear un conjunto que tenga solo tres letras: B = {d, g, z}.
• Incluso podríamos hacer un conjunto que incluya tanto estados como letras. Llamemos a este conjunto C: C = {d, g, z, Nebraska, Ohio}.

Los ejemplos anteriores utilizaron la notación de conjuntos adecuada. Las llaves ({}) se utilizan generalmente al escribir un conjunto. A menudo es común usar letras mayúsculas para nombrar un conjunto.

Una cosa más antes de continuar: los elementos de un conjunto se pueden escribir en cualquier orden y se pueden enumerar más de una vez. También podríamos escribir el conjunto C como C = {g, d, Nebraska, z, d, Ohio, Ohio}. No cambiamos el conjunto C. Aún tiene los mismos cinco elementos.

Definición de subconjuntos

Usemos los conjuntos A, B y C nuevamente como se definió anteriormente y se enumeran nuevamente aquí:

• A = {Nebraska, Ohio}
• B = {d, g, z}
• C = {d, g, z, Nebraska, Ohio}

Podemos decir que A es un subconjunto de C porque todos los elementos de A son también elementos de C. Un subconjunto es un conjunto formado por componentes de otro conjunto.

El conjunto A es más específicamente un subconjunto propio del conjunto C porque A no es igual a C. En otras palabras, hay algunos elementos en C que no están en A. Un subconjunto adecuado es un subconjunto que no es igual al conjunto al que pertenece. . Algunos libros de texto o sitios web utilizarán esta notación para especificar un subconjunto adecuado (tenga en cuenta que se elimina el guión bajo). En esta lección, la primera figura que mostramos se utilizará para todos los subconjuntos.

También podemos mostrar la relación entre A y C en un diagrama de Venn.

Identificación de subconjuntos

Ahora hablemos de identificar subconjuntos. Esta parte de la lección se vuelve un poco complicada. Primero, debemos aceptar que puede haber conjuntos dentro de conjuntos. Esto significa que los conjuntos pueden ser elementos de otros conjuntos. Veamos este ejemplo:

D = {2, {2}, 3, 4, {7}, {11, 12}}

En el conjunto D, hay seis elementos. Tres de los elementos son conjuntos de un número o de varios números: {2}, {7} y ​​{11, 12}. Podemos distinguir estos elementos como conjuntos debido a los corchetes. Los otros tres elementos son números individuales: 2, 3 y 4.

Los elementos 2 y {2} no son iguales porque {2} es un conjunto y 2 no es un conjunto. Además, los números 11 y 12 no son elementos de D, pero el conjunto {11, 12} es un elemento de D. Esta distinción entre elementos y conjuntos es sencilla, pero a menudo es una regla difícil de aplicar. Probablemente sería beneficioso repasar esta parte de la lección más de una vez.

Ahora, identifiquemos algunos subconjuntos de D. Necesitamos recordar la definición de un subconjunto: A es un subconjunto de B si todos los elementos de A son elementos de B. Si el conjunto F = {3, {7}}, entonces F es un subconjunto de D porque todos los elementos de F son elementos de D. De manera similar, si el conjunto G = {2, {2}, {11, 12}, 4}, entonces G es un subconjunto de D porque todos los elementos de G son elementos de D.

Ahora, identifiquemos un no ejemplo. Si el conjunto H = {3, 7}, entonces H no es un subconjunto de D. El conjunto que contiene el número 7 es un elemento de D, pero el número 7 no es un elemento de D. Note la diferencia de notación entre F y H.

Subconjuntos de sistemas numéricos

Otra forma de ilustrar el concepto de subconjuntos es utilizando los conjuntos de sistemas numéricos. Usamos ciertas letras para definir varios sistemas numéricos. Esto ayuda a definir mejor los conjuntos y facilitar su escritura. Entonces, por ejemplo:

• N = Números naturales = {1, 2, 3,…}
• Z = Enteros = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Q = Números racionales = {cualquier fracción de dos números enteros expresados ​​como a / b de los cuales b no es igual a 0}
• R = Números reales = {el conjunto de todos los números racionales y todos los números irracionales}

Es posible que haya notado que algunos sistemas numéricos son subconjuntos de otros sistemas numéricos. Por ejemplo, N es un subconjunto de Z porque todos los números naturales son enteros. Sin embargo, Z no es un subconjunto de N porque los números negativos no son números naturales.

El conjunto vacío y el conjunto de energía

Cada conjunto contiene al menos un subconjunto llamado conjunto vacío . Este es un conjunto que no tiene elementos. Podemos usar un par de llaves, {}, para mostrar el conjunto vacío. Más comúnmente, el símbolo de conjunto vacío Ø se utiliza para mostrar el conjunto vacío. Debido a que el conjunto vacío no tiene elementos, podemos decir que todos los elementos del conjunto vacío son elementos de cualquier otro conjunto. Esta definición debería sonar familiar. Por lo tanto, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

Terminemos esta lección con un término más llamado conjunto de potencias . Un conjunto de potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. Sea B = {a, b}. En símbolos, el conjunto de potencias de B, escrito como P (B), es el siguiente: P (B) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}

Probablemente sea una buena práctica escribir siempre primero el conjunto vacío. Todos los demás subconjuntos deben escribirse con la notación de conjunto adecuada a menos que se haya definido otra notación alternativa, como en el caso de los sistemas numéricos definidos en esta lección.

Resumen de la lección

Un conjunto es una colección de elementos u objetos. Un subconjunto es un conjunto formado por componentes de otro conjunto. Un subconjunto adecuado es un subconjunto que no es igual al conjunto al que pertenece. Un conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos. Un conjunto de potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto.

Términos clave de subconjuntos

Conjuntos y subconjuntos

• Conjunto: una colección de objetos o elementos
• Subconjunto: una colección de componentes de otro conjunto
• Subconjunto adecuado: un subconjunto desigual al conjunto al que pertenece
• Conjunto vacío: uno que no tiene elementos.
• Conjunto de energía: reúne todos los subconjuntos de un conjunto

Los resultados del aprendizaje

Una vez que termine esta lección, los estudiantes deberían poder:

• Determinar qué constituye conjuntos y subconjuntos
• Describir las formas de identificar subconjuntos.
• Definir los tipos de conjuntos y subconjuntos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador