Suma de los primeros n números naturales
En muchas ocasiones en matemáticas, probablemente te sorprenderás detectando patrones. Estos patrones, cuando se aplican a un proceso repetitivo, pueden permitirle completar los cálculos rápidamente. Encontrar la suma de los cubos de los primeros n números naturales es una de esas ocasiones. Esta lección le mostrará el patrón que le permitirá encontrar la suma de los primeros n números naturales rápidamente. También dará una breve prueba de que el patrón funciona en todos los casos.
Si ha estado en álgebra durante algún tiempo, probablemente haya escuchado la frase Suma de cubos cuando se refiere a la factorización de dos términos al cubo que se han sumado. x 3 + 27 sería un ejemplo de este tipo de suma de cubos. De eso no se trata esta lección. Esta lección trata sobre hallar la suma de los cubos de los primeros n números naturales. Si quisieras encontrar la suma de los primeros tres ( n = 3) cubos, sería (1) 3 + 2 3 + 3 3 o 1 + 8 + 27 = 36. Como n era solo 3, no tomar mucho tiempo averiguar que la suma de los primeros tres cubos era 36. Cuando nse hace más grande, se requiere mucho más tiempo para encontrar la suma. Existe una fórmula que permite contar la suma de los primeros n cubos sin mucho tiempo ni problemas. Como puede ver, la fórmula se lee como:
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Ejemplos
Ejemplo 1
Empecemos con n = 3, ya que sabemos la respuesta.
(3 (3 + 1) / 2) 2
((3 x 4) / 2) 2
¿Quiénes fueron los primeros habitantes de Colombia?
(2/12) 2
(6) 2
Por tanto, nuestra respuesta es 36.
Ejemplo 2
Calcula la suma de los primeros 12 cubos.
n = 12
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n + 1 = 13
12 x 13 = 156
156/2 = 78
78 2 = 6.084
Eso es mucho más rápido que encontrar los 12 cubos y luego sumarlos, y obtienes la misma respuesta que hacerlo a mano.
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Hay otra forma de encontrar la suma de los cubos de los primeros n números naturales. Puedes sumar los primeros n números y luego cuadrar tu respuesta. Esto puede parecer más simple al principio, pero resumir esos primeros n números puede llevar mucho tiempo. Si deja n = 12, necesitaría sumar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78 y luego elevarlo al cuadrado; 78 2 = 6.084. La otra forma es más rápida.
Prueba
La inducción se puede utilizar para demostrar que la suma de los primeros n números naturales es el cuadrado de:
(( n x ( n +1)) / 2) 2
Paso uno
El primer paso de la inducción es demostrar que cuando n = 1, funcionará. Entonces n = 1, n + 1 = 2. (1) (2) / (2) = 1. El cuadrado de 1 = 1. 1 3 = 1. Funciona para n = 1.
Segundo paso
En el segundo paso de la inducción, asume que la teoría funciona para n . Entonces, asumimos que (( n ( n + 1)) / 2) 2 = la suma de los primeros n cubos naturales.
Paso tres
La tercera parte de la inducción es la que requiere algunas manipulaciones algebraicas. En la segunda parte, asumimos que la teoría es correcta; En la tercera parte, tenemos que demostrar que sumar nuestro siguiente cubo a nuestra suposición nos dará nuestra suposición con n + 1 en lugar de n . La imagen en su pantalla ahora le mostrará cómo configurar el paso tres de la prueba por inducción. El resto de manipulaciones algebraicas utilizadas para determinar que el paso tres es correcto y que la suma de los primeros n cubos es n x ( n + 1) / 2 no se proporciona aquí.
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A través de algunas manipulaciones algebraicas moderadamente pesadas, terminamos con ( x + 3) 3 en el lado izquierdo de la ecuación que es igual a ( x + 3) 3 en el lado derecho de la ecuación. Esto prueba el paso tres y, por lo tanto, la teoría original. Simple, ¿verdad?
Resumen de la lección
Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre la suma de los cubos de los primeros n números naturales. Primero, recuerde que la frase Suma de cubos se usa cuando se hace referencia a la factorización de dos términos al cubo que se han sumado. Para encontrar la suma de los cubos de los primeros n números naturales, puedes encontrar los cubos de cada número y luego sumarlos todos. Puede hacerlo de esta manera o puede ahorrar mucho tiempo y esfuerzo siguiendo estos pasos:
- Toma tu número ny multiplícalo por el siguiente número natural. n ( n + 1).
- Divida su respuesta del paso uno por 2.
- Cuadre su respuesta del paso 2.
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