Trabajar con secuencias geométricas

¿Qué es una secuencia geométrica?

El patrón definitorio de una secuencia geométrica es bastante fácil de detectar. Esto se debe a que una secuencia geométrica es una secuencia de números donde cada número se encuentra multiplicando el número anterior por una constante. Por ejemplo, si nuestra constante es 3 y el primer número de nuestra secuencia es 1, entonces:

• El segundo número será 1 * 3 = 3
• El tercer número será 3 * 3 = 9
• El cuarto número será 9 * 3 = 27
• El quinto número será 27 * 3 = 81
• El sexto número será 81 * 3 = 243

Podríamos seguir, pero nos detendremos allí por ahora. Terminamos con esta cadena de números: 1, 3, 9, 27, 81, 243 … ¿Ves cómo cada número es 3 veces el número anterior?

Puedes pensar en una secuencia geométrica como una serie de obsequios. Por ejemplo, empiezas a rodar dando un regalo a tres personas. Luego, esas tres personas siguen dando vueltas y cada una da un regalo a tres personas más. Ahora hay 9 personas que reciben regalos. Luego, esas 9 personas dan un obsequio a tres personas más, de modo que un total de 27 personas ahora reciben obsequios. Podríamos seguir si quisiéramos, pero probablemente entiendas la idea.

Encontrar la razón común

Muchas veces en matemáticas, se le dará una secuencia de números y se le pedirá que determine si es una secuencia geométrica. Para hacer esto, simplemente dividimos cada número en la secuencia por el número anterior. Si el cociente de cada división es el mismo, entonces tenemos una secuencia geométrica. Este cociente repetido se llama razón común , que es igual a la constante multiplicada por cada número para encontrar el siguiente número en la secuencia.

Veamos un ejemplo.

Digamos que tenemos esta secuencia: 2, 4, 8, 16 …. ¿Cómo podemos determinar si es una secuencia geométrica? Comenzamos dividiendo 4 entre 2. ¿Qué obtenemos? Obtenemos 2. Luego, dividimos 8 entre 4. ¿Qué obtenemos? Obtenemos 2 de nuevo. Hasta ahora tan bueno. Estamos obteniendo la misma respuesta de 2. Luego, continuamos dividiendo 16 entre 8. ¿Qué obtenemos aquí? Obtenemos 2 de nuevo. ¡Excelente! Entonces, esta es una secuencia geométrica con una razón común de 2. Esto significa que cada número en la secuencia es simplemente el número anterior multiplicado por 2.

Continuación de una secuencia geométrica

¿Qué pasaría si quisiéramos expandir una secuencia geométrica a más números? Usando nuestra definición anterior, simplemente necesitamos multiplicar nuestro último número por la razón común para encontrar el siguiente número en la secuencia. Podemos repetir este proceso una y otra vez para extender nuestra secuencia tanto como queramos.

Por ejemplo, si quisiéramos continuar nuestra secuencia de 2, 4, 8 y 16 para encontrar el siguiente número, simplemente multiplicamos el 16 por 2, lo que nos da 32. Entonces 32 es mi nuevo último número. Para encontrar el siguiente número, multiplicamos nuestro 32 por 2 nuevamente. El siguiente número es 32 * 2, que es 64.

Más ejemplos

Practiquemos con dos secuencias más. Vea si puede encontrar la razón común y continuar la secuencia mientras las resolvemos juntos.

3, 6, 12, 24 …

En primer lugar, ¿es esta una secuencia geométrica? Cuando dividimos cada número en la secuencia por el número que lo precede, encontramos que obtenemos el mismo resultado:

• 6/3 = 2
• 12/6 = 2
• 24/12 = 2

Esto significa que tenemos una secuencia geométrica con una razón común de 2. Ya tenemos cuatro términos en esta secuencia, pero ¿y si quisiéramos encontrar el sexto término? Tendríamos que continuar nuestra secuencia para dos números más. Para hacer esto, multiplicamos 24 por 2 para obtener 48, y luego, nuevamente, multiplicamos 48 por 2 para obtener 96. Entonces 48 es nuestro quinto término y 96 es nuestro sexto término.

Probemos con otra secuencia.

1, 4, 16, 64

Dividiendo cada número en esta secuencia por el número que lo precede, encontramos que todos son 4.

• 64/16 = 4
• 16/4 = 4
• 4/1 = 4

Como podemos ver, esta es una secuencia geométrica con una razón común de 4. El quinto término de la secuencia sería 64 * 4 = 256.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que una secuencia geométrica es una secuencia de números donde cada número se encuentra multiplicando el número anterior por una constante. Para determinar si una secuencia de números es una secuencia geométrica, dividimos cada número por el número anterior. Si cada división tiene el mismo cociente, entonces es una secuencia geométrica. El cociente se llama razón común , que es igual a la constante multiplicada por cada número para encontrar el siguiente número en la secuencia. Para expandir una secuencia geométrica, multiplicamos el último número de la secuencia por la razón común para encontrar el siguiente número. Podemos continuar este proceso hasta que alcancemos el número deseado.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, podrá:

• Definir secuencia geométrica y razón común
• Explica cómo encontrar la razón común y expandir una secuencia geométrica.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador