Transformar funciones cuadráticas

Dibujar arco iris con funciones cuadráticas.

Suponga que lo contrataron para escribir el programa de computadora para un videojuego. En este juego tienes que crear un arcoíris. Puedes usar la gráfica de una función cuadrática para dibujarla. Tienen forma de arco iris. El juego requiere que el arco iris siga a la olla de oro. Deberá mover el arco iris. Puedes usar transformaciones en funciones cuadráticas para hacer que el arco iris se mueva. Esta lección definirá funciones cuadráticas y sus transformaciones. También le dará los pasos básicos para transformar cualquier función cuadrática.

Vocabulario

Función cuadrática

Una función cuadrática es una función polinomial que tiene un grado de dos. El mayor exponente es un dos. La forma básica de esta función sería f (x) = x 2 . Otro ejemplo de función cuadrática sería f (x) = 2x 2 -6x-12.

Función principal

Las funciones principales son la función de una categoría de funciones de las que se derivan todas las demás funciones. Son la forma de función más básica en esa categoría. En la categoría de cuadráticas f (x) = x 2 es la función madre.

Forma de vértice

La forma de vértice de una función cuadrática se verá como f (x) = a (xh) 2 + k. En forma de vértice, el punto (h, k) es el vértice de la parábola. El valor de la ‘a’ indicará si el gráfico se abrirá hacia arriba o hacia abajo (concavidad).

Parábola

Una parábola es la forma de todas las funciones cuadráticas. Se parece a la letra u .

Diferentes funciones cuadráticas

Vértice

El vértice de una cuadrática es el punto en el gráfico en el que el gráfico cambia de aumentar a disminuir o de disminuir a aumentar. Se indica con un punto (h, k). El vértice de una función cuadrática será el valor máximo o mínimo de esa función.

Transformación de una función

Una transformación de una función consiste en cambiar los parámetros de la función principal. En la categoría cuadrática los parámetros son a, hy k. Esto creará otra función del mismo tipo que la función principal. Esto posiblemente podría hacer que la función se mueva en la cuadrícula de coordenadas xy. Podría moverse hacia la izquierda o hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo. Podría reflejarse a través del eje xoy o estirarse horizontal o verticalmente.

Transformar funciones cuadráticas

La función madre de la cuadrática es f (x) = x 2 . En forma de vértice sería f (x) = 1 (x-0) 2 +0 donde a = 1, h = 0 y k = 0. El gráfico tiene su vértice en (0,0) y se abre. Al cambiar el valor de a, h y k llamados parámetros, puede crear una transformación de la función.

Qué hace la ‘a’.

La ‘a’ afecta la altura de la parábola. La ‘a’ multiplicará los valores de y por un factor de ‘a’. En la función principal, a = 1 y normalmente no se escribe. Contiene los puntos (-1,1), (0,0) y (1,1). F (x) = 4x 2 es una transformación de la función cuadrática padre. El valor de ‘a’ es 4. Los puntos de f (x) son (-1,4), (0,0) y (1,4). Observe cómo todos los valores de y de cada punto se multiplicaron por 4. El gráfico se ampliará por un factor de 4, lo que lo hará parecer más delgado.

Qué hace la ‘h’.

‘H’ es el movimiento horizontal alejándose del origen. En la función padre h = 0. En forma de vértice, la ‘h’ se encuentra dentro del paréntesis. Tiene el efecto opuesto sobre el valor de x. Por ejemplo, f (x) = (x-5) 2 tiene un valor de -5, pero mueve la parábola 5 lugares a la derecha. Los puntos (-1,1), (0,0) y (1,1) de la función principal se mueven a (4,1), (5,0) y (6,1).

Qué hace la ‘k’.

‘K’ es el movimiento vertical alejándose del origen. En la función padre k = 0. En forma de vértice, la ‘k’ se encuentra fuera del paréntesis. Tiene un efecto directo sobre el valor de y. Por ejemplo, f (x) = x 2 -4 tiene un valor k de -4, pero mueve la parábola 4 lugares hacia abajo. Los puntos (-1,1), (0,0) y (1,1) de la función principal se mueven a (-1, -3), (0, -4) y (1, -3).

¿Qué hace un ‘-‘?

Si se coloca un signo negativo delante de un valor ‘a’, reflejará la parábola en el eje x. Todos los valores de y cambiarán de signo. Los puntos (-1,1), (0,0) y (1,1) de la función principal se mueven a (-1, -1), (0,0) y (1, -1). Si se coloca un signo negativo delante de la variable x, reflejará la parábola a través del eje y. Todos los valores de x cambiarán de signo. Los puntos (-1,1), (0,0) y (1,1) de la función principal se mueven a (1,1), (0,0) y (-1,1).

Ejemplo

Describe la función f (x) = – 3 (x-2) 2 +5. Entonces tenemos a = -3, h = -2 y k = 5. La función f (x) se alejará del origen 2 lugares hacia la derecha y 5 lugares hacia arriba. Girará sobre el eje y y luego se estirará por un factor de 3.

Una transformación de f (x)

Resumen de la lección

Las funciones cuadráticas más básicas son f (x) = x 2 . En forma de vértice, esta función sería f (x) = 1 (x-0) 2 +0. Todas las demás funciones cuadráticas se pueden derivar cambiando los parámetros de a, h y k. El valor ‘a’ estirará el gráfico verticalmente en un factor de ‘a’. El parámetro ‘h’ moverá el gráfico horizontalmente h unidades. El movimiento horizontal se mueve a la inversa. El valor ‘k’ afecta el movimiento vertical en ‘k’ unidades. El movimiento vertical es directo. Puede voltear la parábola a través del eje x colocando un signo negativo delante de la ‘a’. La reflexión sobre el eje y se obtiene colocando un negativo delante de la variable x.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador