Usar la ley de los senos para resolver un triángulo

Ley de los senos

Hay muchas fórmulas útiles en trigonometría. De lo que hablaremos en esta lección en video es la ley de los senos , que te dice cómo se relacionan los lados y los ángulos de un triángulo. Al usar esta fórmula, puede resolver cualquier triángulo para un lado o ángulo faltante. Recuerda que tus funciones trigonométricas básicas de seno, coseno y tangente se pueden encontrar fácilmente usando un triángulo rectángulo. ¿Recuerdas SOHCAHTOA ? Te dice que:

• Seno es igual a opuesto / hipotenusa
• El coseno es igual a adyacente / hipotenusa
• La tangente es igual a opuesta / adyacente

Si bien nuestras funciones trigonométricas básicas son fracciones de los diversos lados de un triángulo rectángulo, al usar nuestras funciones trigonométricas de una manera más elaborada, podemos usarlas para resolver problemas relacionados con cualquier tipo de triángulo, no solo con triángulos rectángulos. Esto abre un mundo completamente nuevo de problemas que podemos resolver usando trigonometría. Echemos un vistazo a la ley de los senos. Se parece a esto:

Las letras minúsculas se refieren a los lados de un triángulo. Las letras mayúsculas más grandes se refieren a los ángulos correspondientes del triángulo. Entonces, el ángulo A es el lado opuesto a , el ángulo B es el lado opuesto b y el ángulo C es el lado opuesto c .

Resolver un triángulo

Al usar esta fórmula, podemos resolver cualquier tipo de triángulo para un lado o un ángulo faltante. Mire cuidadosamente la fórmula y verá que hay dos signos iguales. Esto significa que podemos usar dos partes cualesquiera de esta fórmula; no tenemos que usar las tres partes. La fórmula nos dice que las tres partes son iguales entre sí. Entonces, ¿qué información necesitamos para encontrar un lado faltante?

Bueno, veamos lo que sucede cuando usamos solo dos partes de la fórmula. Digamos que tenemos un / sen A = c / sen C . Si queremos encontrar el lado c , entonces necesitamos saber todas las otras letras, necesitamos saber lado una , el ángulo A y el ángulo C . ¿Qué nos dice esto? Nos dice que si estamos buscando un lado en particular, necesitamos saber la medida de un lado junto con su ángulo opuesto y luego necesitamos saber la medida del ángulo opuesto al lado que estamos buscando.

¿Qué hay de encontrar un ángulo faltante? ¿Qué información necesitamos saber para eso? Miremos. Decir que estamos utilizando esta fórmula – a / sen A = b / sen B . Buscamos ángulo A . ¿Qué información necesitamos para resolver esta fórmula? Necesitamos saber lados a y b , junto con el ángulo B . ¿Qué nos dice esto? Nos dice que para encontrar un ángulo faltante, necesitamos saber la medida del lado opuesto al ángulo que estamos buscando y la medida del otro lado junto con su ángulo opuesto.

Si se nos da un problema de triángulo para resolver, necesitamos ver qué información se nos da y luego podemos decidir qué dos partes de la ley de los senos vamos a usar. Por ejemplo, si estamos buscando el lado cy se nos da el ángulo C , el lado b y el ángulo B , entonces usaremos la fórmula b / sin B = c / sin C porque contiene toda la información que me han dado y querer encontrar.

Veamos un par de ejemplos para ver cómo se hace esto.

Ejemplo 1

Encuentra el lado b.

En este problema, ¿qué estamos buscando? Buscamos el lado b . Bien, ya que estamos buscando un lado faltante, eso significa que necesitamos conocer el ángulo B y otra medida de un lado diferente junto con su ángulo opuesto. Bueno. ¿Qué se nos da?

Se nos da el ángulo B como 105. Hasta ahora todo bien. Ahora necesitamos otro lado. Mira, tenemos el lado a que es 7. También tenemos el ángulo A que es 35. ¡Genial! Tenemos todo lo que necesitamos para encontrar nuestro lado perdido. Puesto que estamos utilizando lados una y b , utilizaremos las dos partes de nuestra ley de senos que incluyen esos lados. Tenemos a / sen A = b / B pecado . Podemos introducir los números que conocemos.

Obtenemos 7 / sen 35 = b / sen 105 . Para resolver, usamos nuestras increíbles habilidades de álgebra. También recordamos configurar nuestra calculadora en grados, ya que estamos trabajando con grados. Obtenemos b = (7 sin 105) / sin 35 = 11,79 . Nuestro lado b mide 11,79. Hemos terminado. Eso no estuvo tan mal, ¿verdad?

Ejemplo 2

Encuentra el ángulo A.

Aquí, vemos que se nos dan dos lados, un ángulo, y necesitamos encontrar otro ángulo. Entonces, veamos, se nos da el lado b junto con el ángulo B y se nos da el lado a . Queremos encontrar el ángulo A . Así que podemos utilizar la fórmula a / sen A = b / sen B .

Conectando la información que tenemos, obtenemos esto: 4.7 / sin A = 5.5 / sin 63 . Nuevamente, usando nuestras asombrosas habilidades de álgebra para resolver nuestro ángulo A perdido , obtenemos A = sin ^ -1 ((4.7 sin 63) /5.5) . Al evaluar esto, obtenemos el ángulo A = 49.58 grados. Recuerde, dado que estamos buscando un ángulo, necesitamos tomar el seno inverso de nuestros cálculos para encontrar nuestro ángulo en grados. También recuerde, dado que estamos trabajando con grados, debemos asegurarnos de que nuestra calculadora también esté configurada en grados.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que la ley de los senos nos dice cómo se relacionan los lados y los ángulos de un triángulo. También nos permite resolver cualquier triángulo para un lado o ángulo faltante. La fórmula se ve así:

Las letras minúsculas representan los lados de nuestro triángulo y las letras mayúsculas representan los ángulos opuestos correspondientes de esos lados. Esta fórmula tiene tres partes iguales. Para usarlo, solo necesitamos usar dos de las partes. Usamos las partes que contienen la información que tenemos y la información que necesitamos encontrar.

Para encontrar un lado faltante, necesitamos saber la medida del ángulo opuesto a nuestro lado faltante junto con la medida de otro ángulo con su lado opuesto. Para encontrar un ángulo faltante, necesitamos saber la medida de su lado opuesto junto con la medida de otro lado con su ángulo opuesto.

Cuando tenemos toda la información que necesitamos, introducimos los valores en nuestra fórmula de dos partes. Luego usamos nuestras habilidades de álgebra para resolver nuestra incógnita. Si estamos encontrando un ángulo, recordamos usar la operación de seno inverso al final para encontrar la medida de nuestro ángulo.

Los resultados del aprendizaje

Una vez finalizada esta lección, debería poder:

• Indique el significado de SOHCAHTOA
• Recuerda la ley de los senos
• Calcular el lado o ángulo faltante de un triángulo usando la ley de los senos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador