Uso de factorizaciones primas para encontrar los múltiplos menos comunes

Minimo común multiplo

Hablemos del mínimo común múltiplo . Piense en los bebés. La mayoría de las personas tienen un bebé a la vez. Algunas personas tienen múltiples, como gemelos. En cuanto a los bebés, los gemelos son bastante comunes. ¡Es como una venta de 2 por 1 para niños! Además, cada niño tiene un mejor amigo y / o socio en el crimen incorporado. Luego están los trillizos. Cuando las personas tienen trillizos, necesitan coches más grandes. ¿Qué pasa con los cuatrillizos? Ese es uno de sus múltiplos menos comunes. Lo mismo con los quintillizos.

Cuando hablamos de múltiplos menos comunes, en realidad no estamos preguntando cuántos quintillizos conoces, aunque probablemente no muchos, ¿verdad? El mínimo común múltiplo de dos o más números se refiere al número entero más pequeño que es divisible por esos números. Por lo tanto, no buscamos el mínimo común múltiplo como ocurre con menos frecuencia. Más bien, queremos el mínimo común múltiplo , como en el menor múltiplo compartido .

Imagina la fiesta de cumpleaños de esas quintillizas. Tal vez necesitemos bolsas de regalos para fiestas; los silbidos chirriantes vienen en paquetes de 15, los marcadores permanentes vienen en paquetes de 32 y las cajas de cerillas vienen en paquetes de 45. En primer lugar, esos son terribles obsequios para la fiesta de cumpleaños de un niño. Pero lo que es más importante, ¿cuántos de cada uno necesitará comprar para tener un número par? Aquí es donde resulta útil conocer el mínimo común múltiplo. Antes de abordar ese problema, comencemos de manera simple.

Digamos que tenemos 3 y 5. Para encontrar el mínimo común múltiplo, simplemente comenzamos a enumerar los múltiplos de cada uno. Los múltiplos de 3 son 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, etc. Los múltiplos de 5 son 10, 15, 20, 25, 30, etc. ¿Qué múltiplos se comparten? Bueno, de los que enumeramos, hay 15 y 30. ¿Cuál es el más pequeño? 15. Así que 15 es el mínimo común múltiplo de 3 y 5. Por cierto, si tuvieras 15 hijos, necesitarías un autobús.

Factorización prima

Con números pequeños como 3 y 5, enumerar los múltiplos está perfectamente bien. Es como que con gemelos ir a un restaurante no es un gran problema. Pero, ¿qué pasa con números más desafiantes? ¿Y si tenemos 36 y 40? Es más como llevar quintillizos a un restaurante. Nadie estará muy emocionado sentado junto a ellos. Aquí es donde entra en juego la factorización prima .

¿Qué es la factorización prima? Aquí es cuando encontramos los números primos que se multiplican para formar un número. Desempaquetemos eso un poco. Los factores de un número son los números que, si los multiplicas, obtienes el número original. Algunos factores de 36 son 3 y 12. ¿Por qué? Bueno, 3 x 12 es 36. Otros factores son 2 y 18. 6 x 6 también nos da 36. Los factores primos son factores que son números primos, o números mayores que uno que solo se pueden dividir uniformemente por uno o por sí mismos.

Podemos dibujar un árbol de factores para encontrar los factores primos. Puede comenzar un árbol con cualquier factor. Comencemos con 3 y 12. Bueno, 3 es un número primo, por lo que la rama se detiene bastante rápido. ¿Qué hay de 12? Bueno, 3 y 4 son factores de 12 y 2 y 2 son factores de 4, entonces los factores primos de 36 son 2 x 2 x 3 x 3.

Encontrar el LCM

Podemos usar esta información para encontrar el mínimo común múltiplo siguiendo tres pasos. Primero, completa la factorización prima de cada número. Hicimos eso para 36. Hagámoslo para 40. 40 es 2 x 20, 2 es primo. Entonces, 20 es 2 x 10 y 10 es 2 x 5, entonces los factores primos de 40 son 2 x 2 x 2 x 5. Ahora hemos terminado con el paso uno.

En segundo lugar, encuentre qué número primo aparece con mayor frecuencia. ¿Más amenudo? ¿Eso parece raro? Un poco, sí, pero quédate conmigo. Enumere estos números. Así que ambos conjuntos tienen 2, pero hay más 2 con 40; eso es lo que quiero decir con «ocurre con mayor frecuencia». Luego hay dos 3 con 36 y un 5 con 40. En estos casos, eso ocurre con mayor frecuencia porque no ocurren en los otros conjuntos de factores.

En tercer lugar, encuentre el producto de estos números. Está bien, ya casi llegamos. Esto será genial. Entonces, 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5. ¿Qué es eso? Bueno, 2 x 2 es 4, 4 x 2 es 8, 8 x 3 es 24, 24 x 3 es 72 y 72 x 5 es 360. ¿Adivina qué? 360 es el mínimo común múltiplo de 36 y 40. Podemos asegurarnos de que sea un múltiplo al dividir cada número por él. 360/36 es 10. 360/40 es 9.

Práctica

Practiquemos con otro conjunto de números. ¿Y si tenemos 14 y 25? ¿Qué es el primer paso? Factorización prima. Haz el árbol: 14 es 2 x 7 y, bueno, esos son primos. 25 es 5 x 5, más números primos. Ordenado. El segundo paso es encontrar los números que ocurren con más frecuencia. Eso es fácil aquí, no hay repeticiones. En el paso tres: encontrar el producto de estos números. 2 x 7 x 5 x 5. Eso es 350. Entonces 350 es el mínimo común múltiplo de 14 y 25.

¿Y si sumamos tres números? Es hora de nuestro ejemplo de favor de partido. Agregamos 15 silbidos chillones, 32 marcadores permanentes y 45 fósforos. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo? Comencemos con la factorización prima. 15 es 3 x 5; fácil. 32 es 2 x 16, 16 es 2 x 8, 8 es 2 x 4 y 4 es 2 x 2, entonces 32 es 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Bien, 45: eso es 5 x 9 y 9 es 3 x 3. Paso dos, encuentre los factores primos más populares. Tanto el 15 como el 45 tienen 3, pero el 45 tiene más, así que los tomaremos. Ambos tienen 5 también, así que tomemos uno de esos. Ahora tomemos nuestros 2 de 32. Así que tenemos 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5. Ahora para el paso tres. Sabemos que esos 2 son 32, por lo que 32 x 3 es 96, 96 x 3 es 288 y 288 x 5 es 1.440. Entonces, el mínimo común múltiplo de 15, 32 y 45 es 1,440. Eso fue mucho más simple que enumerar todos los múltiplos de los tres números hasta que encontramos 1,440, ¿verdad? También es una buena señal que deberíamos encontrar diferentes obsequios para la fiesta.

Resumen de la lección

Para resumir: aprendimos cómo encontrar el mínimo común múltiplo para un conjunto de números. Este es el número entero más pequeño que es divisible por todos los números. Primero, completamos la factorización prima de cada número. Recuerde el árbol de factores: estamos tratando de dividir un número en sus factores primos. En segundo lugar, encontramos qué número primo ocurre con más frecuencia y los enumeramos. Finalmente, encontramos el producto de todos estos números. Eso nos dará nuestro mínimo común múltiplo.

Resultado de aprendizaje

Después de ver esta lección, podrá recordar y demostrar los pasos necesarios para encontrar el mínimo común múltiplo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador