Uso de funciones cuadráticas para modelar un conjunto de datos o una situación dados

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son aquellas funciones con un grado de 2. Lo que esto significa es que tendrán, como máximo, tres términos, y el mayor exponente es siempre un 2. Sí, las funciones cuadráticas siempre tendrán el término con el exponente de 2.

La forma general o estándar de todas las funciones cuadráticas es f ( x ) = ax ^ 2 + bx + c , donde a , b , y c son sus coeficientes, y x es la variable. Tus coeficientes pueden ser cualquier número. Si un coeficiente es 0, ese término desaparece. Sin embargo, para funciones cuadráticas, debido a que el término ax ^ 2 siempre debe estar presente, el coeficiente de a no puede ser 0.

Su variable, x , puede ser cualquier letra que sea conveniente para la función. Si hablamos de tiempo, nuestra variable puede ser t . Si hablamos de altura, nuestra variable puede ser h . Nuestra variable puede ser cualquier letra que haga que nuestra función sea fácil de entender.

Modelado

Por supuesto, te encuentras con estas funciones en problemas de matemáticas, pruebas y exámenes. Pero estas funciones también aparecen en el mundo real como modelos de eventos de la vida real. Por ejemplo, y este es solo un ejemplo, la ruta que recorre un objeto, como una pelota de béisbol, después de haber sido golpeado sigue esta función cuadrática:

Donde g es 4.9 para metros y 16 para pies, v sub 0 es nuestra velocidad inicial y h sub 0 es nuestra altura inicial. Nuestro coeficiente g proviene de la fuerza de la gravedad y se ha calculado específicamente para la Tierra.

Nuestra velocidad inicial es la velocidad a la que el objeto viaja hacia arriba cuando se suelta, y nuestra altura inicial es la altura a la que se suelta nuestro objeto. Entonces, nuestra función da la altura del objeto en un momento dado. Echemos un vistazo más de cerca al modelado usando esta función cuadrática.

Un conjunto de datos

Se nos puede dar un conjunto de datos, una colección de puntos de datos, para considerar. Dado que estamos tratando con un objeto que cae después de que se suelta, veremos los puntos de datos que siguen la trayectoria de un objeto que cae, como una bala de cañón humana. Digamos que se nos dan los siguientes puntos de datos:

Se nos dice que estos puntos de datos siguen el camino de una bala de cañón humana bajo la fuerza de la gravedad en la Tierra. Ya sabemos cómo es la función cuadrática. Entonces, solo necesitamos encontrar la velocidad inicial, la altura inicial y si estamos hablando en metros o pies.

Miramos nuestros puntos de datos y vemos que en el tiempo 0, nuestra bala de cañón humana estaba a una altura de 3. Eso significa que nuestra altura inicial es de 3 metros. Dado que se trata de metros, nuestra g es 4.9. Entonces, para encontrar nuestra velocidad inicial, podemos usar nuestro segundo punto de datos, (1, 14.8).

Introducimos estos valores en nuestra función cuadrática para el movimiento de un objeto bajo la gravedad. Obtenemos 14.8 = – 4.9 * 1 ^ 2 + v sub 0 * 1 + 3. Esto se convierte en 14.8 = -4.9 + v sub 0 + 3. Sumando términos semejantes, obtenemos 14.8 = -1.9 + v sub 0.

Resolver para v sub 0 sumando 1.9 a ambos lados nos da una velocidad inicial de 16.7 metros por segundo. Bien, tenemos toda la información que necesitamos para construir nuestra función cuadrática. Conectando todos nuestros elementos necesarios, obtenemos esto para la función cuadrática que modela este conjunto de datos:

Una situacion

Ahora bien, ¿qué pasa si se nos presenta una situación? En realidad, esto se vuelve más fácil para nosotros, ya que, muy probablemente, recibimos la mayor parte de la información que necesitamos. Dado que estamos trabajando con la función cuadrática de la gravedad, solo necesitamos conocer tres datos. Necesitamos saber la velocidad ascendente inicial, la altura inicial y si estamos hablando en metros o pies. Veamos una situación:

Se lanza una pelota hacia arriba en el aire a una velocidad de 5 pies por segundo desde una altura de 5 pies. ¿Cuál es la fórmula cuadrática que nos da el camino que toma la pelota a lo largo del tiempo?

Conocemos la forma general de esta cuadrática. Necesitamos encontrar la velocidad ascendente inicial y la altura inicial. Parece que el problema nos da esta información. Nos dice que nuestra velocidad inicial es de 5 pies por segundo y nuestra altura inicial es de 5 pies. Estamos hablando en pies, por lo que nuestra g es 16. Reemplazando estos valores, obtenemos esto para nuestra función cuadrática que modela esta situación:

Y eso es todo lo que tenemos que hacer. Hemos terminado.

Resumen de la lección

Revisemos. Nuestras funciones cuadráticas son aquellas funciones con un grado de 2 con una forma general o estándar de f ( x ) = ax ^ 2 + bx + c . Para modelar un conjunto dado de puntos de datos o una situación, usamos la función cuadrática para la situación que se presenta. En esta lección en video, analizamos situaciones en las que queremos encontrar la función cuadrática que nos da la trayectoria de un objeto que cae a lo largo del tiempo. Aprendimos que la función cuadrática para este tipo de situación es esta:

Si se nos da una situación o un conjunto de puntos de datos, la información que necesitamos encontrar a partir de la información que se nos da es la velocidad ascendente inicial y la altura inicial. Si se trata de metros, nuestra g es 4,9. Si se trata de pies, entonces nuestra g es 16. Nuestra t está en segundos. Una vez que encontramos toda la información necesaria, simplemente la conectamos a nuestra función y listo.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, podrá:

• Definir funciones cuadráticas
• Identificar la forma estándar para funciones cuadráticas
• Explica cómo resolver funciones cuadráticas para la trayectoria de un objeto que cae a lo largo del tiempo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador