Uso de funciones lineales y exponenciales para modelar situaciones

Usar las matemáticas para modelar el mundo real

Los modelos matemáticos se utilizan para comprender y predecir lo que sucederá en el futuro. Los científicos toman datos y encuentran una función matemática que se ajusta lo más posible a los datos, y luego pueden usar ese modelo para predecir cosas que no han observado directamente. Por ejemplo, los meteorólogos usan modelos matemáticos para predecir patrones climáticos futuros, y los médicos y expertos en salud pública usan modelos matemáticos para comprender y predecir la propagación de enfermedades. Dos tipos importantes de funciones que se utilizan para modelar datos del mundo real son funciones lineales y funciones exponenciales.

Modelado usando funciones lineales

Las funciones lineales son funciones que forman una línea recta cuando se grafican. Se pueden modelar muchos fenómenos utilizando funciones lineales. Hay dos partes importantes de un modelo lineal, la pendiente y la intersección con el eje y de la línea.

La pendiente de una línea es la velocidad a la que cambia alguna variable. Para que un modelo lineal se ajuste a los datos, esta tasa debe ser constante, ¡porque una línea solo puede tener una pendiente! La intersección con el eje y es el valor de la variable medida al principio.

Para desarrollar un modelo lineal, use la pendiente ( m ) y la intersección con el eje y ( b ) para escribir la ecuación de la línea que mejor se ajuste a los datos:

y = m x + b

Veamos un ejemplo:

El auto de Maddie está estacionado en su escuela, que está a 4 kilómetros de su casa. Si sale de la escuela y conduce en la dirección opuesta a su casa a una velocidad de 1 milla por minuto (esto es 60 millas por hora), cree un modelo para calcular qué tan lejos está de su casa en cualquier momento.

En este ejemplo, Maddie conduce a una velocidad constante (1 milla por minuto), por lo que un modelo lineal funcionaría bien. El tiempo (en minutos) debe trazarse en el eje x y la distancia desde el hogar debe trazarse en el eje y . La pendiente de la línea será la velocidad a la que se mueve, y la intersección con el eje y será la distancia a la que comienza (2.5 millas de su casa). Esto le dará el siguiente modelo lineal para estos datos:

Con este modelo, Maddie puede calcular exactamente dónde estará en cualquier momento después de que termine la escuela. ¿Puedes usar el modelo para predecir dónde estará después de 6 minutos?

Modelado usando funciones exponenciales

En muchos casos, las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando funciones lineales, pero esto no siempre es cierto. A veces, otras funciones pueden adaptarse mejor a los datos. Veamos otro ejemplo y veamos cómo podemos modelarlo:

Derrick está estudiando la tasa de crecimiento de cierto tipo de célula cancerosa. Prepara un matraz para cultivarlos y luego coloca con cuidado 1.000 células en el matraz. Cada 12 horas, mide el número de células en el matraz. Después de unos días, toma todos estos datos y los traza en un gráfico que se ve así:

Derrick puede ver de inmediato que estos puntos NO forman una línea, por lo que una función lineal no funcionará para modelar estos datos. Decide ver si una función exponencial podría ajustarse mejor a los datos que una lineal. Las funciones exponenciales tienen la variable de entrada en el exponente y se utilizan para modelar datos que cambian rápidamente y no a una tasa constante. La forma más común de una función exponencial usa el número e como base, que es aproximadamente igual a 2.718.

Usando los datos de crecimiento celular de Derrick, encuentra que la función que mejor se ajusta a sus datos es una función exponencial.

En esta función, el valor inicial ( A ) es 1000 ya que ese es el número de celdas con las que comenzó y la constante de crecimiento exponencial ( b ) es 0.2, x es el tiempo (en horas) e y es el número de celdas en un momento determinado.

Ahora, Derrick puede usar este modelo exponencial para predecir cuántas células estarán presentes después de cualquier período de tiempo. ¿Puede usar este modelo para calcular cuántas células estarán presentes después de 60 horas?

Resumen de la lección

Las funciones lineales son funciones que forman una línea recta cuando se grafican. Se pueden utilizar para modelar datos que demuestren aumentos o disminuciones a un ritmo constante.

Función lineal: y = m x + b

Las funciones exponenciales tienen la variable de entrada en el exponente y se utilizan para modelar datos que cambian rápidamente y en los que la tasa de cambio no es constante.

Función exponencial: y = A e ^ ( b x )

Rodrigo Ricardo Editor y fundador