Uso de la diferenciación para encontrar valores máximos y mínimos

Extrema

En este punto máximo global, la derivada será cero

Sabemos que un extremo es un valor máximo o mínimo en un gráfico. Si me dan una gráfica, puedo señalar dónde están los extremos. Aquí, tengo un valor máximo global. Es más grande que cualquier otro punto de toda esta región. Aquí, tengo un valor máximo local. Es el punto más grande de esa área. Aquí, tengo un mínimo global y tengo un mínimo local. Tampoco puedo olvidar incluir los puntos finales en mi gráfico. Pero, ¿cómo puedo calcularlos realmente?

Consideremos Super C, Human Cannonball, por un segundo. Super C se dispara al aire y podemos graficar su altura en función del tiempo. Si quiero saber su altura máxima, puedo ver que está justo entre cuando deja de subir y comienza a bajar. Entonces está justo en ese punto. Si pongo esto en un gráfico, encuentro que un valor máximo estaría entre donde la derivada es positiva y la derivada es negativa. Ahí es cuando la pendiente cambia de subir a bajar.

Un mínimo local es donde la pendiente cambia de descendente a ascendente. Entonces, para una función continua, cuando la derivada cambia de positiva a negativa, la derivada pasará por cero. En este valor máximo global, la derivada será cero en ese punto exactamente. De manera similar, aquí, para este valor máximo local, la derivada será cero en la parte superior. Super C, en lo más alto de su trayectoria, no subía y no bajaba. Su altura en función del tiempo, esa derivada, era cero allí mismo.

La función y el gráfico para el lanzamiento de Super C

Buscando a Extrema

Podemos usar esto a nuestro favor para encontrar valores extremos. Entonces, para alguna función y = f (x) , lo primero que queremos hacer es encontrar los puntos críticos de esta función. (Es decir, donde la derivada es igual a cero). Entonces vamos a encontrar algunos valores de x donde la derivada es igual a cero. El segundo paso es que vamos a encontrar qué es y en esos puntos críticos. También vamos a encontrar y en los puntos finales. Entonces, podríamos darnos cuenta de que Super C alcanzó el pináculo de su altura 1 segundo después de su vuelo, pero ahora vamos a encontrar exactamente qué tan alto era, ese es el valor y en este caso. El tercer paso es que vamos a comparar todos esos yvalores que acabamos de calcular, y vamos a ver cuál es el valor máximo que corresponde a nuestro máximo global. También veremos cuál es nuestro valor mínimo que va a corresponder a nuestro valor mínimo global. Todos los demás puntos críticos pueden ser máximos o mínimos locales, pero no siempre.

Así que pongamos algunos números en esto. Veamos a Super C, la bala de cañón humana. Digamos que su altura en función del tiempo (voy a escribir y = f (x) , entonces x aquí es el tiempo ey es la altura) – digamos que esa función es -x ^ 2 + 2 x y su todo el vuelo va de 0 a 2. Bien, entonces nuestro primer paso para encontrar todos los extremos es encontrar los puntos críticos, es decir, donde f` (x) = 0. Entonces voy a diferenciar nuestro f (x) . La derivada de -x ^ 2 + 2 x es -2 x + 2. Ahora voy a igualar eso a cero y resolver para x . Bien,f` (x) = 0 cuando x = 1. Entonces, sé en qué momento Super C alcanzó el pináculo, en x = 1, pero ¿qué tan alto estaba en x = 1? Voy a calcular f ( x = 1). Voy a introducir 1 en nuestra ecuación original aquí. Es importante que sea la ecuación original y no la derivada. Entonces tengo – (1) ^ 2 + 2 (1). Eso es -1 + 2, o simplemente 1. Su altura en x = 1 es 1. Así que este punto aquí es el punto (1, 1).

Para el lanzamiento de Super C, (1,1) es el máximo global y (0,0) y (2,0) son los minutos globales

Bien, ese podría ser su máximo global o podría ser su mínimo global, así que echemos un vistazo a los puntos finales. En el lado izquierdo, tenemos x = 0, entonces, ¿cuál es el valor de su altura en x = 0? f ( x = 0) = – (0) ^ 2 + 2 (0). OK, eso es cero. Entonces, este punto aquí al final es (0, 0). En el lado derecho, en x = 2, f (x)= 0 también. Entonces este punto aquí es (2, 0). Tengo tres posibilidades para valores máximos y mínimos globales y locales. Mi máximo global es el máximo de estos. Ahí es cuando su altura es igual a 1, por lo que está en el punto (1, 1). Hay dos valores mínimos, en (0, 0) y (2, 0). En ambos casos, está en el nivel del suelo. Fue entonces cuando le dispararon y cuando cayó al suelo. Entonces tenemos dos mínimos globales, uno en (0, 0) y otro en (2, 0). En este caso, los mínimos locales y los máximos locales son los mismos que los valores mínimos y máximos globales.

Encontrar más extremos

Hagamos otro ejemplo. Digamos que tenemos la función y = 2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 12 x + 1 entre -3 y 3. Voy a esbozar esto de esta manera. Encontremos los valores extremos. Mi primer paso es encontrar los puntos críticos. Así que voy a tomar la derivada de mi f (x) , que es solo 2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 12 x + 1. La derivada es 6 x ^ 2 + 6 x – 12. Establezcamos que igual a cero para encontrar los puntos críticos. Voy a factorizar un 6, y luego voy a factorizar esto x ^ 2 + x – 2 en ( x + 2) ( x– 1). Este lado izquierdo aquí es igual a cero cuando x = -2 o x = 1. Entonces tengo dos puntos donde la derivada es igual a cero, x = -2 y x = 1.

Calculemos cuál es el valor de mi función en esos dos puntos críticos internos y en ambos extremos, x = -3 y x = 3. En x = -2, f (x) = 2 (-2) ^ 3 + 3 (-2) ^ 2 – 12 (-2) + 1. Eso es solo 21. Bien, entonces tengo un punto que es (- 2, 21). En x = 1, f (x) = -6. Entonces ese es el punto (1, -6). En x = 3, f (x) = 46, entonces ese es el punto (3, 46). Finalmente, en x = -3, f (x) = 10. Entonces ese es el punto (-3, 10). Voy a echar un vistazo a estos y ver cuál será mi máximo global y cuál será mi mínimo global.

Gráfico y función para el ejemplo final

f (x), y x y x y

Resumen de la lección

Así que repasemos. Extrema son los puntos máximo y mínimo en alguna región. Para encontrar valores extremos, primero queremos encontrar los puntos críticos, es decir, donde la derivada es igual a cero. Luego vamos a encontrar cuál es el valor de nuestra función en esos puntos críticos, así como en los puntos finales. Por último, vamos a comparar todos esos valores, es decir, el valor de nuestra función, en los puntos críticos y en los puntos finales, para ver cuál es el máximo global y cuál es el mínimo global.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador