Uso de la primera derivada para identificar funciones crecientes y decrecientes

La primera derivada

En matemáticas, nos ocupamos de muchas funciones. Muchas veces, estas funciones se grafican. Por ejemplo, la función y = 3 x – 4 da una línea recta cuando se grafica.

Cuando comenzamos a agregar exponentes a nuestras funciones, nuestras gráficas comienzan a parecerse más a montañas rusas o algunos otros paseos locos. La función y = – x ^ 5 + 5 x ^ 2 – 3 te da un gráfico que parece una montaña rusa loca que te hace sentir como si estuvieras en caída libre.

Cuando los matemáticos obtienen estas funciones, y otras funciones aún más complicadas, les gusta manipularlas y hacer otras operaciones matemáticas con ellas. Una de estas operaciones está tomando la primera derivada. Otras lecciones cubren la obtención de la primera derivada si necesita un repaso. La primera derivadaes la derivada de la función original. Matemáticamente, la primera derivada te da la pendiente. Lo que esto significa para las funciones con exponentes es que la primera función derivada te dice cuál es la pendiente de la función en cada punto. Como puede ver en nuestro último ejemplo, nuestra pendiente cambia a medida que viajamos a lo largo de la línea, nuestra falsa montaña rusa. La primera función que vimos graficada en una línea tiene una sola pendiente en toda su extensión. Esto se debe a que nuestra línea tiene la misma pendiente en todas partes. No cambia. Es como subir una colina sin fin.

Cuando llamamos a nuestra función f ( x ), llamamos a nuestra primera derivada f ‘(x). Usamos un apóstrofe para hacernos saber que es la primera derivada. No vamos a entrar en todas las reglas para encontrar la primera derivada en esta lección. Tenemos otras lecciones disponibles para eso. Regrese y mírelos si necesita un repaso.

Una cosa muy interesante acerca de la primera derivada es que el signo de la primera derivada, ya sea positiva o negativa, en realidad nos dice si nuestra función es creciente o decreciente. Una función creciente tiene valores de y que aumentan a medida que avanza hacia la derecha del gráfico. Una función decreciente tiene valores y que disminuyen a medida que se mueve hacia la derecha del gráfico. Una función creciente tiene una primera derivada que es positiva. Una función decreciente tiene una primera derivada que es negativa.

Función creciente

Mirando nuevamente nuestro primer ejemplo, nuestra línea, vemos que nuestro gráfico se mueve hacia arriba. Está aumentando. Veamos qué tipo de signo obtenemos cuando tomamos la primera derivada. Dado que nuestra gráfica está subiendo, aumentando, deberíamos esperar obtener una primera derivada positiva. Veamos.

f ( x ) = 3 x – 4

f ‘( x ) = 3

¡Mira eso! Nuestra primera derivada es positiva. También nos dice que nuestra pendiente es 3 en toda nuestra función.

Función decreciente

Ahora, ¿qué pasa con nuestra otra función más complicada? Vemos que nuestra función en realidad disminuye a medida que nos movemos hacia la derecha. Está disminuyendo. ¿Qué significa esto para el signo de nuestra primera derivada? Debería ser negativo. Veamos qué obtenemos cuando tomamos la primera derivada.

f ( x ) = – x ^ 5 + 5 x ^ 2-3

f ‘( x ) = -5 x ^ 4 + 10 x

¡Ajá! ¡Es tan negativo como debería ser!

EJEMPLO

Veamos cómo podemos utilizar esta información.

Digamos que se le da f ( x ) = x ^ 2 – 5 x . Se le pide que determine si esta función aumenta o disminuye. ¿Qué haces? Recuerda lo que acaba de aprender sobre la primera derivada. Sigue adelante y toma la primera derivada, y obtienes f ‘( x ) = 2 x – 5. Observas el signo de la primera derivada. Es positivo. Entonces esto te dice que tu función está aumentando. ¡Estás listo!

RESUMEN DE LA LECCIÓN

Revisemos. La primera derivada es la derivada de la función. Matemáticamente, la primera derivada te da la pendiente. Una función creciente tiene valores de y que aumentan a medida que avanza hacia la derecha del gráfico. Una función decreciente tiene valores y que disminuyen a medida que se mueve hacia la derecha del gráfico. Una función creciente tiene una primera derivada que es positiva, mientras que una función decreciente tiene una primera derivada que es negativa.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador