Uso del principio de ubicación para identificar ceros de funciones polinomiales

El principio de ubicación

Suponga que hay un bosque cerca de su casa que recientemente se ha poblado con una rara raza de ardillas. Los científicos han rastreado la población de ardillas durante el año pasado y, al tener en cuenta los recursos naturales y el espacio, han desarrollado la siguiente función para modelar cómo cambiará la población de ardillas con el tiempo.

• P ( x ) = – x 2 + 47 x + 12, donde x = número de meses desde que los científicos comenzaron a observar a las ardillas.

Observe que P ( x ) es una función polinomial. Un polinomio es una expresión matemática de una suma de términos que contienen la misma variable elevada a diferentes potencias.

Estas ardillas son realmente lindas, por lo que esperas que estén por un tiempo. Esto hace que uno se pregunte cuándo se irán las ardillas del bosque según el modelo de población. ¿Cuándo llegará la población a cero? Matemáticamente hablando, quieres saber los ceros del polinomio.

Los ceros de un polinomio son los valores de x que dan un valor de y de cero cuando se conectan al polinomio. Gráficamente, los ceros de una función polinomial son donde la función cruza el eje x porque aquí es donde el valor de la función es igual a cero.

Sabiendo esto, traza una gráfica de la función de los científicos y mira para ver dónde cruza el eje x .

Parece que la población de ardillas llegará a cero en algún momento entre los 45 y 50 meses, pero es difícil precisar el número exacto de meses.

Observe que cuando la gráfica de la función cruza el eje x en los ceros de la función, el valor de y cambia de positivo a negativo o de negativo a positivo. Esto conduce a una regla útil llamada principio de ubicación.

El principio ubicación para ceros de funciones polinómicas estados que si tenemos una función polinómica f ( x ) y si f ( a )> 0 y f ( b ) <0, entonces f ( x ) tiene al menos un cero entre una y b . Eso es hablar de lujo por el hecho de que si el valor de una función polinómica cambia de signo entre x = una y x = b , entonces la función debe tener un cero entre x = una y x = b.

Para ilustrar esto, considere que parece que la población de ardillas llegará a cero en algún momento entre los 45 y 50 meses. Si conectamos estos valores a la función de población, obtenemos que P (45) = 102 y P (50) = -138.

Observe que el valor de la función cambia de positivo a negativo entre x = 45 y x = 50. Por lo tanto, la función polinomial tiene un cero entre x = 45 y x = 50.

Aproximación de ceros de una tabla

Ahora, como dijimos, es difícil precisar el número exacto de meses según el gráfico, y un lapso de 5 meses de 45 a 50 meses es bastante tiempo. Afortunadamente, podemos usar el principio de ubicación para reducirlo aún más y aproximarnos con mayor precisión donde ocurrirá el cero de la función polinomial.

Sabemos que va a producirse un cero entre cualquier x -valores a y b , donde el valor de la función cambia de signo, por lo que podemos hacer una tabla de valores de la función de x -valores 45 a 50, y luego buscar un cambio de signo entre los valores de la función . Entonces sabremos que se produce un cero entre los valores de x que corresponden a los valores de la función donde tuvo lugar el cambio de signo.

De la tabla, vemos que P (47) = 12 y P (48) = -36, y el valor de la función cambia de positivo a negativo entre x = 47 yx = 48. Por lo tanto, por el principio de ubicación, conocemos el La función polinomial tiene un cero entre x = 47 yx = 48. Esto nos dice que las ardillas desaparecerán por completo en 47-48 meses. ¡Eso ciertamente lo reduce con mayor precisión!

Otro ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo más. Supongamos que estamos trabajando con la siguiente función polinomial:

f ( x ) = x 3 + 5 x 2 – 3 x – 10

Tenemos una tabla de valores de función para varios valores de x de la siguiente manera:

Basándose en la tabla y el principio de ubicación, ¿puede calcular cuántos ceros tiene esta función polinomial y aproximadamente dónde ocurren?

Sabemos que ocurre un cero en cualquier lugar donde haya un cambio de signo en el valor de la función. En la tabla, podemos ver que hay tres lugares en los que esto ocurre. De x = -6 ax = -5, f ( x ) cambia de negativo a positivo (-28 a 5). Desde x = -2 ax = -1, f ( x ) cambia de positivo a negativo (8 a -3). Por último, de x = 1 a x = 2, f ( x ) cambia de negativo a positivo (-7 a 12).

Por el principio de ubicación, tenemos que la función tiene tres ceros que ocurren entre x = -6 y x = -5, x = -2 y x = -1, y x = 1 y x = 2. ¡Guau! ¡Toda esa información de una tabla de valores! ¡Este principio de ubicación es muy útil!

Resumen de la lección

f ( x ) es una función polinomial cuando es una expresión matemática de una suma de términos que contienen la misma variable elevada a diferentes potencias. Los ceros de una función polinomial son los valores de x que hacen que f ( x ) = 0 sea verdadero.

El principio de ubicación para los ceros de los polinomios estados que si el valor de una función polinómica cambia de signo entre x = un y x = b la función debe tener un cero entre x = un y x = b . Podemos usar este principio para aproximar los ceros de funciones polinomiales, lo cual es extremadamente útil en aplicaciones del mundo real como finanzas, astronomía, geología, arquitectura o física, ¡solo por nombrar algunas! ¡Guardemos este principio en nuestra caja de herramientas matemáticas, para que podamos sacarlo y usarlo cuando lo necesitemos!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador