Valores de funciones trigonométricas de ángulos especiales

Un triángulo rectángulo

No puedes tener trigonometría sin un triángulo rectángulo. ¿Por qué? Necesitamos nuestro triángulo rectángulo porque un triángulo rectángulo nos ayuda a comprender las relaciones entre nuestras funciones trigonométricas. Recuerda que un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto que mide 90 grados. Este triángulo, por ejemplo, es un triángulo rectángulo:

¿Ves el ángulo recto marcado por el cuadro cuadrado? Ese es nuestro único ángulo recto.

El lado largo, el lado opuesto al ángulo recto, es siempre nuestra hipotenusa . El lado opuesto al ángulo marcado se llama lado opuesto . El lado próximo al ángulo, pero no la hipotenusa, se llama lado adyacente . Hemos etiquetado el ángulo uno. Si trabajamos desde el otro ángulo, etiquetaríamos ese otro ángulo. Todas nuestras funciones trigonométricas son razones de los lados de nuestro triángulo rectángulo.

Nuestras funciones trigonométricas

¿Por qué necesitamos comprender nuestras funciones trigonométricas? Necesitamos hacerlo porque veremos estas funciones trigonométricas una y otra vez, no solo en matemáticas, sino también en la vida real. Ser capaz de comprenderlos nos facilitará la vida. ¿Qué ejemplos de la vida real hay, preguntas? Bueno, ondas sonoras para uno. Si observa los altavoces de su computadora, entonces está mirando y escuchando la salida de funciones trigonométricas, particularmente la onda sinusoidal.

Tenemos seis funciones trigonométricas en total. Son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Repasemos cada uno en detalle. Nuestra primera función trigonométrica (o trigonométrica para abreviar) es la función seno . Es la razón del lado opuesto a la hipotenusa. Escribimos la función seno así, con solo tres letras:

De hecho, todas nuestras funciones trigonométricas están escritas con solo tres letras.

Nuestra segunda función trigonométrica es la función coseno . Se define como el lado adyacente dividido por la hipotenusa. Escribimos la función coseno así:

A continuación, tenemos la función tangente . Definimos la tangente como el lado opuesto dividido por el lado adyacente. Lo escribimos así:

Tomemos un breve descanso aquí. ¿Cómo vamos a recordar todas estas fracciones? Esa es una buena pregunta y resulta que tengo una respuesta para ti.

Cuando estaba en la escuela, mi maestro me contó sobre este jefe de una tribu en su día. Este jefe era realmente bueno en matemáticas, y fácilmente podría darte las tres funciones trigonométricas anteriores de la parte superior de su cabeza. ¿Cual era su nombre? Su nombre era Jefe Sohcahtoa.

Mire su nombre y ahora mire la primera letra de cada palabra que tenemos para las tres definiciones anteriores y verá que coinciden. Tenemos ‘Sine is Opposite sobre Hypotenuse;’ luego tenemos «El coseno es adyacente a la hipotenusa»; y, finalmente, tenemos ‘La tangente es opuesta sobre adyacente’ – SOH – CAH – TOA. Si puede recordar estos tres, entonces puede descubrir las otras tres funciones trigonométricas. Veamos cómo funciona.

El siguiente que tenemos es la cosecante . Este es en realidad el recíproco de la función seno. Está escrito así:

Debido a que este es el recíproco de la función seno, simplemente hemos invertido la definición de la función seno para la definición de cosecante. La función del seno es opuesta a la de la hipotenusa. Volteándolo, obtenemos hipotenusa sobre el opuesto, nuestra función cosecante.

Si solo recuerda Chief SOH – CAH – TOA, y luego recuerda que la cosecante es el recíproco del seno, entonces podrá calcular la cosecante. Esta regla se aplica también a las otras dos funciones trigonométricas que quedan, ya que también son recíprocas de una de las tres primeras.

Tenemos secante , que es el recíproco de la función coseno. Lo escribimos así:

Nuevamente, nuestra definición es la versión invertida de la función coseno.

Por último, tenemos la función cotangente , que es la recíproca de la función tangente. Lo escribimos así:

Nuestros ángulos especiales

Si ha jugado con alguna de estas funciones antes, verá que obtiene algunas respuestas locas cuando usa una calculadora para calcular varios ángulos. Sin embargo, existen algunos ángulos especiales en los que las respuestas son más agradables.

Verá estos ángulos especiales listados en grados o radianes. Ambas son formas de medir ángulos. Te los daré a ambos. Cuando haga sus cálculos, asegúrese de que su calculadora esté configurada en grados si está trabajando con grados o radianes si está trabajando con radianes. Si está configurado incorrectamente, entonces sus respuestas estarán muy lejos.

Solo hay cinco ángulos especiales de los que debemos preocuparnos. Son 0 grados o 0 radianes, 30 grados o pi / 6 radianes, 45 grados o pi / 4 radianes, 60 grados o pi / 3 radianes y 90 grados o pi / 2 radianes. En forma de tabla, tenemos esto:

Nuestros valores trigonométricos

Para encontrar nuestros valores trigonométricos, conectamos estas medidas en cada una de nuestras funciones trigonométricas para ver qué obtenemos. Podemos completar una tabla con los valores que encontremos:

Esto puede parecer muchos valores para recordar, pero hay un patrón que puede ayudarlo. De hecho, solo necesitas conocer los valores de las funciones seno y coseno para que estos ángulos especiales puedan completar el resto de la tabla. Para usar este patrón, solo necesita saber dos cosas:

1. Tangente = seno / coseno. Solo necesitamos mirar las fórmulas básicas para saber que esto es cierto: tangente = seno / coseno = (opuesto / hipotenusa) / (adyacente / hipotenusa) = opuesto / adyacente!
2. Para encontrar los valores de las funciones recíprocas (secante, cosecante y cotangente), simplemente tome el recíproco de los valores de seno, coseno y tangente.

Probemos este patrón para la primera fila de la tabla. A 0 grados o 0 radianes, el seno es 0 y el coseno es 1. Dado que la tangente es seno / coseno, esto significa que la tangente es 0/1, o solo 0. Bien, ahora solo tenemos que tomar los recíprocos de estos valores para encontrar los valores de las funciones restantes.

Cosecante = 1 / seno = 1/0. No podemos dividir por 0, por lo que verá que este valor no está definido en la tabla. De manera similar, cotangente = 1 / tangente = 1/0 también está indefinida.

Finalmente, secante = 1 / coseno = 1/1 = 1. No dudes en probar este patrón también en las otras filas. Solo recuerda que siempre que conozcas los valores de seno y coseno, puedes encontrar rápidamente los valores de muchas otras funciones, ¡incluso sin una calculadora!

Resumen de la lección

Repasemos todo lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que las funciones trigonométricas se basan en el triángulo rectángulo , un triángulo con un ángulo recto que mide 90 grados. El lado opuesto al ángulo recto es siempre la hipotenusa . Si etiquetamos un ángulo, el lado opuesto al ángulo se llama lado opuesto , y el lado al lado del ángulo, pero no la hipotenusa, se llama lado adyacente . Basado en este triángulo, tenemos nuestras definiciones de nuestras funciones trigonométricas.

La función del seno es opuesta a la de la hipotenusa. La función coseno es adyacente a la hipotenusa. La función tangente es opuesta sobre adyacente. Estas tres son las funciones trigonométricas básicas. Los siguientes tres son recíprocos de uno de estos. La cosecante es el recíproco de la función seno. La secante es el recíproco de la función coseno. La cotangente es el recíproco de la función tangente. Podemos resumir los ángulos especiales y sus valores en esta tabla:

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, tendrá la capacidad de:

• Describe las funciones seno, coseno y tangente basadas en el triángulo rectángulo.
• Identificar los recíprocos de las funciones seno, coseno y tangente
• Explica cómo recordar fácilmente las funciones trigonométricas.
• Recuerda los ángulos especiales y sus valores.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador