¿Qué es Ratio? ¿Qué significa la relación en matemáticas?

El comienzo de las proporciones

La proporción de palabras se remonta a la antigua Grecia. La traducción latina de ratio significa ser racional o razonar. El razonamiento se refiere a la comprensión de la relación entre dos valores.

El siguiente es un ejemplo de la vida real de proporciones:

Un salón de clases de geometría de la escuela secundaria está compuesto por 30 estudiantes. La maestra de matemáticas, la Sra. Jones, tiene 10 estudiantes de noveno grado y 20 estudiantes de décimo grado en su clase. La proporción de estudiantes de noveno grado a estudiantes de décimo grado es de 10 a 20 o 1 a 2. La proporción de estudiantes de noveno grado a la lista completa de estudiantes para la clase de la Sra. Jones es de 10 a 30 o 1 a 3.

¿Qué es una relación?

Una razón es la comparación de dos cantidades del mismo tipo o la relación de una cantidad similar con otra. Las razones se pueden escribir de tres formas diferentes utilizando símbolos de razón o palabras, manteniendo el mismo significado. Es decir, las proporciones se pueden escribir colocando una barra de fracción, la palabra «a» o el símbolo de proporción »: » entre los dos valores que se comparan.

Usando el ejemplo anterior de comparar los dos grupos de estudiantes en la clase de la Sra. Jones, la proporción de estudiantes de noveno grado a estudiantes de décimo grado puede tomar cualquiera de las tres formas siguientes:

• {eq} \ dfrac {10} {20} {/eq}
• 10 hasta 20
• 10:20

Las tres formas, escritas usando diferentes símbolos de proporción, comparan a los estudiantes del décimo noveno grado con los veinte estudiantes del décimo grado en la clase de geometría, y todas tienen el mismo significado.

Dependiendo de la información necesaria, las proporciones se pueden usar para comparar dos porciones dentro de un conjunto completo de datos, lo que se denomina proporción entre partes , o una proporción puede comparar una parte de un conjunto de datos con la colección total de datos que se llama relación de parte a todo . Cuando nos referimos al ejemplo de la clase de geometría, comparar a los estudiantes de noveno grado con los de décimo grado es una proporción entre partes. Los dos niveles de grado son parte de toda la lista de estudiantes. Cuando se compara la cantidad de estudiantes de noveno grado con la lista completa de estudiantes, se crea una proporción de parte a todo. Los estudiantes de noveno grado son parte de toda la clase.

Las razones muestran la relación entre dos valores, pero también tienen una conexión matemática con la división. Recuerda que la barra de fracción es uno de los símbolos de razón que se usan para escribir razones. La barra de fracción también significa división. Entonces, cuando miramos hacia atrás a los 10 estudiantes de noveno grado y los 20 estudiantes de décimo grado, la división puede estar implícita en esta proporción. Básicamente, los estudiantes de noveno grado se dividirían, compartirían o agruparían por igual con los estudiantes de décimo grado.

Expresando proporciones

Las razones se pueden expresar en varias formas diferentes, pero equivalentes, como fracciones, decimales y porcentajes. La proporción de estudiantes de noveno grado con respecto al número total de estudiantes en la clase de geometría, de 10 a 30, es un ejemplo perfecto para demostrar cómo podemos expresar las proporciones de formas diferentes y equivalentes. Aquí las expresiones equivalentes son las siguientes:

• {eq} 10:30 {/eq} (uso del símbolo de proporción)
• {eq} \ dfrac {10} {30} = \ dfrac {1} {3} {/eq} (Uso de la barra de fracción y simplificación de la fracción)
• {eq} \ dfrac {1} {3} = 0.333 … {/eq} (Simplificar la razón y realizar la división indicada, 1 dividido por 3, da la razón en forma decimal, lo que da como resultado un decimal periódico)
• {eq} 0.333 … = 33.3 … \% {/eq} (Reescribir el decimal periódico como un porcentaje multiplicándolo por 100 da la razón en forma de porcentaje)

Esto demuestra que las razones tienen múltiples formas de expresarse y todas son equivalentes.

Calcular razones

Echemos un vistazo a algunas situaciones en las que las proporciones se pueden usar para expresar diferentes escenarios o resolver diferentes problemas.

Ejemplo 1: Una encuesta indicó que 1 de cada 3 estudiantes completan sus tareas a tiempo. Escribe esto como una razón y explica su significado.

Solución: 1: 3, 1 a 3 o {eq} \ dfrac {1} {3} {/eq} son tres formas diferentes de escribir esta proporción, y todas demuestran que la cantidad de estudiantes que completan su tarea a tiempo es 1 en comparación con un total de 3 estudiantes encuestados.

Ejemplo 2: Cierta guardería tiene 15 bebés y 20 niños pequeños. ¿Cuál es la proporción de bebés a niños pequeños?

Solución: 15:20, 15 a 20 o {eq} \ dfrac {15} {20} {/eq} pueden usarse para representar esta razón. La proporción compara el número de bebés con el número de niños pequeños en la guardería. Debido al hecho de que los números involucrados en esta razón comparten un factor común máximo de 5, la razón se puede simplificar dividiendo ambos números en esta razón por este factor común máximo de 5.

{eq} \ begin {align} \ dfrac {15} {20} & = \ dfrac {15 \ div 5} {20 \ div 5} \\ [0.3cm] & = \ dfrac {3} {4} \ end {align} {/eq}

Vemos que podemos representar la proporción de bebés a niños pequeños como 15:20 o como 3: 4. Estos se denominan proporciones equivalentes porque tienen el mismo significado y valor general.

Ejemplo 3: un corredor tiene un entrenamiento constante de 2 millas cada 4 días. ¿Cuántas millas recorre el corredor en 2 días?

Solución: Este ejemplo es una buena demostración de cómo las razones equivalentes y las fracciones equivalentes van de la mano. Si escribimos la razón en forma de fracción, entonces podremos ver cómo las fracciones equivalentes nos ayudarán a responder esta pregunta.

{eq} \ dfrac {2 \ text {millas}} {4 \ text {días}} = \ dfrac {? \ text {millas}} {2 \ text {días}} {/eq}

Trabajando con la razón en forma de fracción, podemos ver que si dividimos los 4 días entre 2, obtenemos 2 días. Para mantener la fracción equilibrada y la ecuación anterior verdadera, también dividimos el número de millas por 2. Esto da lo siguiente:

{eq} \ begin {align} \ dfrac {2 \ text {millas}} {4 \ text {días}} & = \ dfrac {2 \ div 2 \ text {millas}} {2 \ div 2 \ text {días }} \\ [0.3cm] & = \ dfrac {1 \ text {millas}} {2 \ text {días}} \ end {align} {/eq}

El número de millas que recorre el corredor en 2 días es 1 milla.

Escalar con ratios

Las razones de escala son cálculos matemáticos que implican cantidades crecientes o decrecientes al mismo tiempo por un factor constante específico. Por ejemplo, los ingredientes de una receta a veces se escriben como proporciones, y hay ocasiones en las que una receta debe aumentarse o disminuirse en un cierto factor para obtener la receta correcta para una cantidad específica de esa receta. A continuación se muestran algunos ejemplos.

• La receta original de 1 barra de pan de plátano requiere 3 tazas de harina por cada 2 tazas de azúcar. Queremos hacer 2 hogazas de pan, ¿cuánta harina y azúcar necesitamos?

Podemos determinar cuánta harina y azúcar se necesitan para dos barras de pan expresando primero la proporción de harina a azúcar en la receta original para una barra y luego duplicando ambos valores en la proporción:

3: 2 (ingredientes originales)

6: 4 (doble o dos veces los ingredientes)

Así, para hacer 2 hogazas de pan, necesitaríamos 6 tazas de harina y 4 tazas de azúcar.

• ¿Qué pasa si es la misma receta, pero solo queremos {eq} \ dfrac {1} {2} {/eq} una barra de pan?

De la misma manera que duplicamos la cantidad de cada ingrediente en nuestra proporción original para 2 barras de pan, podemos reducir a la mitad la cantidad de cada ingrediente en nuestra proporción original para determinar cuánto se necesita para la mitad de una barra de pan.

3: 2 (ingredientes originales)

{eq} 1 \ frac {1} {2} {/eq}: 1 {eq} \ left (\ dfrac {1} {2} \ text {los ingredientes} \ right) {/eq}

Por lo tanto, para hacer media barra de pan, necesitaríamos {eq} 1 \ dfrac {1} {2} {/eq} tazas de harina y 1 taza de azúcar.

Resumen de la lección

Una razón es la comparación de dos cantidades del mismo tipo o la relación de una cantidad similar con otra. Una proporción puede comparar dos porciones dentro de un conjunto de datos completo, lo que se denomina proporción de parte a parte , o una proporción puede comparar una parte de un conjunto de datos con la colección total de datos, que se denomina parte a todo relación .

Las proporciones se pueden escribir con 3 símbolos diferentes:

• »: » entre los números (por ejemplo, 10:30)
• » a » entre los números (por ejemplo, 10 a 30)
• Una barra de fracción entre los números {eq} \ left (\ text {Por ejemplo,} \ dfrac {10} {30} \ right) {/eq}

Las razones también se pueden expresar en las siguientes formas equivalentes:

• Una fracción {eq} \ left (\ text {Por ejemplo,} \ dfrac {10} {30} \ right) {/eq}

• Un decimal (por ejemplo, 0,33 …)
• Un porcentaje (por ejemplo, 33,3%

Dado que las razones se pueden escribir como fracciones, existen muchas similitudes entre las razones y las fracciones. Las razones se pueden simplificar a razones equivalentes al igual que las fracciones se pueden simplificar a fracciones equivalentes , dividiendo el numerador y el denominador por el máximo factor común. Las razones equivalentes también se pueden calcular multiplicando ambas partes de la razón por el mismo número.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador