Propiedad reflexiva de la igualdad: Definición, fórmula y ejemplos

Propiedad reflexiva

La propiedad reflexiva de la igualdad establece que todo es igual a sí mismo, ya sea un valor específico o una expresión matemática. A continuación se muestran ejemplos de la propiedad reflexiva.

{eq} \ hspace {2em} 3 = 3 {/eq}

{eq} \ hspace {2em} -2 \ pi = -2 \ pi {/eq}

{eq} \ hspace {2em} 5x ^ 2 = 5x ^ 2 {/eq}

{eq} \ hspace {2em} 8a – b + \ tfrac {1} {2} c = 8a – b + \ tfrac {1} {2} c {/eq}

El nombre de la propiedad proviene de la palabra «reflejo». Esto se debe a que, en la propiedad reflexiva, los dos lados de la ecuación son reflejos exactos el uno del otro.

Propiedad reflexiva en geometría

La propiedad reflexiva se usa a menudo en pruebas de geometría. En geometría, la propiedad reflexiva de la congruencia establece que cualquier figura (segmento de línea, ángulo, polígono, forma tridimensional, etc.) es congruente consigo misma. Es decir, cada figura tiene el mismo tamaño y forma que ella misma. Aunque la congruencia no requiere que una figura tenga la misma orientación que una figura, es congruente, obviamente, cada figura también tiene la misma orientación que ella misma.

Por ejemplo, en el diagrama siguiente, la propiedad reflexiva se puede usar para decir que {eq} \ triangle ABC \ cong \ triangle ABC {/eq}. Aquí, el símbolo {eq} \ cong {/eq} significa «es congruente con». Entonces, {eq} \ triangle ABC \ cong \ triangle ABC {/eq} significa que el triángulo {eq} ABC {/eq} es congruente consigo mismo. En el mismo diagrama, la propiedad reflexiva también podría usarse para decir que cada segmento de línea es congruente consigo mismo (por ejemplo, {eq} \ overline {AB} \ cong \ overline {AB} {/eq}) o que cada ángulo es congruente con en sí mismo (por ejemplo, {eq} \ angle ABC \ cong \ angle ABC {/eq}).

También hay una propiedad reflexiva de similitud, que establece que cada figura es similar a sí misma. En geometría, similitud significa que las dos figuras tienen la misma forma pero no necesariamente del mismo tamaño. Entonces, por ejemplo, con esta propiedad, se podría escribir que {eq} \ triangle ABC \ sim \ triangle ABC {/eq}, donde el símbolo {eq} \ sim {/eq} significa «es similar a».

Importancia de la propiedad reflexiva

Aunque la propiedad reflexiva de la igualdad rara vez se usa en la manipulación algebraica, se puede usar para probar otras propiedades algebraicas útiles, como la propiedad de la igualdad de la suma o la propiedad de la igualdad de la multiplicación. La propiedad reflexiva se usa con más frecuencia en geometría, donde se usa para probar nuevos teoremas que involucran congruencia y similitud.

Ejemplos de propiedades reflexivas

Propiedad reflexiva de la igualdad Ejemplo 1

Por ejemplo, si se da que {eq} a = b {/eq}, entonces la propiedad reflexiva puede usarse para demostrar que {eq} ac = bc {/eq}.

Para esta prueba, comience con la propiedad reflexiva en sí, que establece lo siguiente.

{eq} \ hspace {2em} ac = ac {/eq}

Entonces, dado que {eq} a = b {/eq}, es posible sustituir {eq} b {/eq} por {eq} a {/eq} en la ecuación anterior.

{eq} \ hspace {2em} ac = bc {/eq}

Este teorema (es decir, la idea de que si {eq} a = b {/eq}, entonces {eq} ac = bc {/eq} también debe ser verdadero) se denomina propiedad de igualdad de la multiplicación .

Se puede usar una prueba similar que involucra la propiedad reflexiva de la igualdad para probar la propiedad de la igualdad de la suma, que establece que si {eq} a = b {/eq}, entonces {eq} a + c = b + c {/eq} debe ser verdad. También se puede utilizar para demostrar la propiedad de resta y la propiedad de división de igualdad.

Propiedad reflexiva de la igualdad Ejemplo 2

En este ejemplo geométrico, suponga que {eq} \ overline {AB} \ cong \ overline {AC} {/eq} y {eq} \ overline {BM} \ cong \ overline {MC} {/eq} en el siguiente diagrama , como lo muestran las marcas de sombreado en estos segmentos de línea. Usando estos hechos, se puede probar que los dos triángulos también son congruentes entre sí.

La clave de esta prueba es usar la propiedad reflexiva, que establece que {eq} \ overline {AM} \ cong \ overline {AM} {/eq}. Es decir, el segmento medio es congruente consigo mismo. Si esto se combina con los dos hechos dados ({eq} \ overline {AB} \ cong \ overline {AC} {/eq} y {eq} \ overline {BM} \ cong \ overline {MC} {/eq}) , esto significa que los tres lados del {eq} \ triangle ABM {/eq} son congruentes con los tres lados de {eq} \ triangle AMC {/eq}. Por lo tanto, según el teorema de congruencia de triángulos SSS, se puede concluir que los dos triángulos son congruentes entre sí, es decir, {eq} \ triangle ABM \ cong \ triangle ACM {/eq}.

Resumen de la lección

La propiedad reflexiva de la igualdad establece que todo es igual a sí mismo, ya sea un valor específico o una expresión matemática.

En geometría, la propiedad reflexiva de la congruencia establece que cualquier figura (segmento de línea, ángulo, polígono, forma tridimensional, etc.) es congruente ({eq} \ cong {/eq}) consigo misma. Es decir, cada figura tiene el mismo tamaño y forma que ella misma. La propiedad reflexiva de similitud ({eq} \ sim {/eq}) establece una cosa análoga para la similitud (es decir, figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño).

Ejemplos de la propiedad reflexiva son la ecuación {eq} 3 = 3 {/eq} así como {eq} \ overline {AB} \ cong \ overline {AB} {/eq} y {eq} \ triangle XYZ \ sim \ triángulo XYZ {/eq}.

Aunque la propiedad reflexiva de la igualdad rara vez se usa en la manipulación algebraica, se puede usar para probar otras propiedades algebraicas útiles, como la propiedad de la igualdad de la suma o la propiedad de la igualdad de la multiplicación. La propiedad reflexiva se usa con más frecuencia en geometría, donde se usa para probar nuevos teoremas que involucran congruencia.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador