Resolver sistemas de ecuaciones lineales en tres variables usando determinantes

Sistema de ecuaciones lineales en tres variables

En esta lección en video, le mostraré un método fácil que puede usar para encontrar cada una de sus tres soluciones en un sistema de ecuaciones lineales en tres variables , que es una colección de tres ecuaciones lineales con tres variables y sin exponentes. Te encontrarás con estos sistemas de ecuaciones al tomar otras clases de matemáticas. Ser capaz de resolverlos será una habilidad muy útil. El método que aprenderá en esta lección en video implica encontrar solo cuatro determinantes encontrados a partir de los números en sus ecuaciones. Este método se llama regla de Cramer . Implica encontrar los cuatro determinantes y luego dividirlos para encontrar sus soluciones.

Para comenzar, tómese un momento si necesita refrescar su mente sobre cómo crear matrices a partir de ecuaciones y cómo encontrar el determinante de una matriz.

Veremos cómo resolver este sistema de ecuaciones.

Regla de Cramer

Usaremos la regla de Cramer. Esta regla nos permite encontrar la solución simplemente usando los determinantes. El principal determinante es el de la matriz de coeficientes. Llamamos a este determinante, D . Entonces tenemos un determinante para cada una de nuestras variables, D sub x , D sub y y D sub z . Para encontrar D sub x , reemplazamos la primera columna, la columna x , en la matriz de coeficientes con los números constantes, y encontramos el determinante de esta matriz. Para D sub y , reemplazamos la segunda columna en la matriz de coeficientes con los números constantes y luego encontramos el determinante. Para D sub z , reemplazamos la tercera columna y luego encontramos el determinante. losx solución es, entonces, D sub x dividido por D . El y solución es D sub y dividido por D . El z solución es D sub z dividido por D .

Encontrar los determinantes

¿Estás listo para encontrar los determinantes ahora? Vamos a hacerlo. Una vez que encuentre sus determinantes, ¡encontrar la respuesta es muy fácil! Cuando encuentre sus determinantes, solo tenga cuidado con sus signos y qué números necesita multiplicar y cuáles necesita sumar.

Nuestra matriz de coeficientes es esta.

Los números son solo los coeficientes frente a las variables en el lado izquierdo de las ecuaciones. La primera columna son todos los coeficientes de la variable x . La segunda columna son todos los coeficientes de la variable y . La tercera columna son todos los coeficientes de la variable z .

El determinante de nuestra matriz de coeficientes es 1 (-1 * -2 – -1 * 3) – 1 (2 * -2 – -1 * 0) + 1 (2 * 3 – -1 * 0) = 1 (2 + 3) – 1 (-4 + 0) + 1 (6 + 0) = 1 (5) – 1 (-4) + 1 (6) = 5 + 4 + 6 = 15. Nuestra D es 15.

Ahora necesitamos encontrar nuestro D sub x , D sub y y D sub z . Para encontrar estos determinantes, necesitamos sustituir cada columna con los números constantes. Los números constantes son estos.

Para encontrar D sub x , sustituimos la primera columna en nuestra matriz de coeficientes con estos números constantes y luego encontramos el determinante de esa matriz.

El determinante de esta matriz es 6 (-1 * -2 – -1 * 3) – 1 (-3 * -2 – -1 * 0) + 1 (-3 * 3 – -1 * 0) = 6 (2 + 3) – 1 (6 + 0) + 1 (-9 + 0) = 6 (5) – 1 (6) + 1 (-9) = 30 – 6 – 9 = 15. D sub x es 15.

La matriz para D sub y es esta. Hemos sustituido la segunda columna con nuestros números constantes.

El determinante de esta matriz es 1 (-3 * -2 – -1 * 0) – 6 (2 * -2 – -1 * 0) + 1 (2 * 0 – -3 * 0) = 1 (6 + 0 ) – 6 (-4 + 0) + 1 (0 + 0) = 1 (6) – 6 (-4) + 1 (0) = 6 + 24 + 0 = 30. D sub y es 30.

Nuestra última matriz es para D sub z . Es este.

El determinante de esta matriz es 1 (-1 * 0 – -3 * 3) – 1 (2 * 0 – -3 * 0) + 6 (2 * 3 – -1 * 0) = 1 (0 + 9) – 1 (0 + 0) + 6 (6 + 0) = 1 (9) – 1 (0) + 6 (6) = 9 – 0 + 36 = 45. D sub z es 45.

Encontrar las soluciones

Ahora que hemos encontrado todos nuestros determinantes, el siguiente paso es encontrar nuestras soluciones dividiendo nuestros determinantes. Para encontrar la x solución, tomamos D sub x y se divide por D . Para encontrar el y solución, tomamos D sub Y y se divide por D . Para encontrar la z solución, tomamos D sub z y se divide por D . ¿Estás listo para encontrar nuestras soluciones?

La solución x es x = D sub x / D = 15/15 = 1. El y solución es y = D sub y / D = 30/15 = 2. El z solución es z = D sub z / D = 45 / 15 = 3. Entonces nuestra solución completa es (1, 2, 3) donde x = 1, y = 2 yz = 3. Ahora hemos terminado.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que un sistema de ecuaciones lineales en tres variables es una colección de tres ecuaciones lineales con tres variables y sin exponentes. Podemos usar la regla de Cramer para ayudarnos a resolver tal sistema. La regla de Cramer nos permite encontrar la solución simplemente encontrando cuatro determinantes y luego dividiéndolos. El primer determinante, D , es el determinante de la matriz de coeficientes. Los determinantes segundo, tercero y cuarto se calculan a partir de las matrices que se forman al sustituir los números constantes en cada columna. D sub x , el determinante de la matriz formada al sustituir los números constantes en la primera columna de la matriz de coeficientes, es el segundo determinante que necesitamos. D sub yes el determinante de la matriz que se forma al sustituir la segunda columna de la matriz de coeficientes con los números constantes. Y D sub z es el determinante de la matriz formada al sustituir la tercera columna de la matriz de coeficientes con los números constantes. Después de encontrar estos determinantes, la respuesta se obtiene dividiendo nuestros determinantes. El x solución es D sub x / D . El y solución es D sub y / D . Y la final z solución es D sub z / D .

Los resultados del aprendizaje

Vea la lección y desarrolle sus conocimientos para que pueda hacer lo siguiente:

• Reconocer un sistema de ecuaciones lineales en tres variables.
• Encuentre una solución a este sistema usando la regla de Cramer
• Identificar los determinantes y resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador