Comprensión de las loterías y los valores esperados
Megan está comprando un billete de lotería con sus amigos. El boleto les pide a ella y a sus amigos que elijan 4 números entre 1 y 10. Pero sus amigos no sienten que esto sea un buen negocio. Quieren elegir otro juego de lotería, uno en el que elijan 6 números del 1 al 48. Sienten que tienen más posibilidades de ganar. Cada semana compran 1 entrada. ¿Qué entrada deberían empezar a comprar?
Es un problema estadístico común: ¿Cuáles son mis posibilidades de ganar la lotería? En esta lección, aprenderá sobre los diferentes tipos de loterías y cómo encontrar el valor esperado para cada juego.
Primero, analicemos el valor esperado , que es el número de resultados exitosos que se esperan en un experimento. En otras palabras, ¿cuáles son sus posibilidades de ganar? La fórmula para el valor esperado es de n * P . La n representa el número de pruebas y la P representa la probabilidad de éxito en una prueba individual. Sin embargo, en este caso no conocemos la probabilidad de éxito, pero sabemos el número de resultados exitosos: 1. Lo que significa que hay un boleto ganador. Por lo tanto, necesitaremos escribir nuestro problema así: n * P = 1 y reorganizar nuestra fórmula para encontrar nuestra probabilidad, que es esta: P = 1 / n .
Si cada boleto solo contuviera 1 número y 500 personas compraran un boleto de lotería, nuestro problema se vería así: 1/500 o 0.2%. ¡Ay! Esa es una posibilidad muy pequeña.
Desafortunadamente, las loterías son un poco más complicadas que esto. Veamos dos tipos diferentes de loterías.
Elige 4 loterías
¿Recuerdas el primer juego que jugaron Megan y sus amigos, en el que tenía que elegir cuatro números entre 1 y 10? El orden de los números no importa en este juego, y cada número solo se puede elegir una vez.
Podemos usar una fórmula de combinación para resolver este problema de probabilidad en particular. Los números que elijan Megan y sus amigos no importan. La probabilidad siempre será la misma.
Antes de calcular las diferentes combinaciones posibles de números, deberá comprender el concepto de combinaciones. Digamos que estaba sacando cartas de una baraja de cartas normal. ¿Cuáles son las probabilidades de que saque un 6 de corazones, un 4 de tréboles, un 7 de diamantes y un rey de espadas? Esto es similar a nuestro problema con Megan y su boleto de lotería. Primero, probablemente sepa que sacar un 6 de corazones es una probabilidad de 1 entre 52. Esto se debe a que hay un seis de corazones y hay 52 cartas en total. Sin embargo, una vez que saque esa primera carta, la próxima probabilidad será 1 de 51, porque nunca reemplazó esa primera carta. Dado que no importa si saca el 6 de corazones primero, segundo, tercero o cuarto, tiene diferentes probabilidades de sacar un 6 de corazones del mazo en un momento dado.
Puede resultar muy confuso con tantas posibilidades. Para resolver este problema, necesitaremos usar la fórmula de combinación. La fórmula de combinación es una fórmula de probabilidad que usa factoriales para encontrar el número de combinaciones posibles de todos los resultados del experimento. La fórmula de combinación se ve así:
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Puede notar que esta fórmula usa un signo de exclamación, también conocido como factorial en matemáticas. Los problemas de probabilidad y estadística no suelen utilizar factoriales, excepto cuando se trata de combinaciones. Para números grandes, necesitará usar una calculadora gráfica para encontrar los valores factoriales. Para obtener más información sobre factoriales, consulte nuestras otras lecciones.
Como estamos usando números más pequeños, podemos resolver estos factoriales a mano.
En este escenario, n es igual a la cantidad de opciones posibles, o la cantidad de números que Megan y sus amigos pueden elegir, que serían n = 10. x es igual al número de intentos. Entonces, Megan y sus amigos tienen x = 4, o cuatro intentos, cuatro oportunidades para adivinar un número ganador. Ahora nuestra fórmula de combinación se ve así:
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El 10 sobre 4 al principio de esta fórmula se lee como 10 elige 4. En otras palabras, tienes 10 números y estás eligiendo 4 de ellos. Entonces, ¿cuáles son todas las posibles combinaciones de números? Primero necesitamos encontrar las diferentes combinaciones de números que son posibles, antes de que podamos calcular la probabilidad de una combinación ganadora.
La parte superior de la fórmula muestra 10 factorial. Lo que significa que queremos que no se puedan elegir todas las combinaciones diferentes entre los números del 1 al 10. Sin embargo, debemos mirar las diferentes combinaciones después de haber seleccionado un número; quedan nueve de los diez para elegir. Esto es como cuando teníamos 51 cartas para elegir después de seleccionar nuestra primera carta. Es por eso que la primera parte de la fórmula es 10 factorial sobre 10 menos 4 factorial. Esto nos dará las combinaciones de números al seleccionar 4 números de 10 y ningún número puede repetirse.
He tomado la primera parte de esta fórmula y la he desglosado. Si el orden fuera importante en esta lotería en particular, entonces usaríamos esta parte de la fórmula y nuestra respuesta sería 1 de 5,040. Sin embargo, debido a que el orden de los números no importa, debemos agregar la segunda parte de la fórmula.
Agregué en la segunda parte de la fórmula, 4 factorial, que da cuenta de la combinación de orden diferente que pueden aparecer los números. Por ejemplo, si los números ganadores fueran 7, 3, 1 y 10, esos números podrían aparecer en diferentes órdenes, como 10, 1, 3 y 7 o 3, 1, 7 y 10. Una vez que multiplique su números, tendrá la probabilidad de que Megan gane esta lotería, que es 1 de 210. Este es el mismo valor esperado que discutimos anteriormente: P = 1 / n , o su probabilidad de ganar P es igual a 1/210 .
Quizás se pregunte por qué tiene más posibilidades de ganar cuando el orden no importa. Si lo piensa, cuando el orden importa, reduce significativamente sus posibilidades de ganar. Miremos nuestro ejemplo si los números ganadores fueran 7, 3, 1 y 10. Si el orden importara, entonces un boleto con 3, 1, 7 y 10 sería diferente de un boleto con los números 10, 1, 3. y 7. Recuerde, esto haría que el número de combinaciones posibles sea igual a 5,040. Sin embargo, cuando el orden no importa, todos estos boletos serían el mismo boleto ganador y disminuirían el número de combinaciones posibles.
Loterías de números de bonificación: Powerball
Ahora, calculemos las probabilidades de que Megan y sus amigos ganen un juego de lotería en el que se eligen al azar seis bolas del 1 al 59 de una bolsa. Ninguno de los números se repetirá, y el orden de las bolas seleccionadas no importa siempre que todos los números estén representados en el boleto. Además, se seleccionará una séptima bola de una bolsa con bolas del 1 al 35. Para encontrar las probabilidades de que Megan y sus amigos ganen, primero debemos comprender las diferentes combinaciones posibles de números.
Comencemos con el primer conjunto de números que se seleccionarán, las 6 bolas de la bolsa.
Recuerde, n es igual a la cantidad de opciones posibles o la cantidad de números que Megan y sus amigos pueden elegir. x es igual al número de intentos. Entonces, Megan y sus amigos tienen x = 6 o seis intentos, seis oportunidades para adivinar al menos un número ganador. Ahora nuestra fórmula de combinación se ve así:
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Recuerde, está utilizando factoriales para resolver su fórmula de combinación. Analicemos esto. Cuando se selecciona la primera bola de la bolsa, tiene una probabilidad de 1 en 59 de seleccionar cualquier número. En otras palabras, tiene una probabilidad de 1 en 59 de seleccionar 2, 3 o 57. Sin embargo, después de seleccionar la primera bola, solo quedarán 58 bolas. Entonces, tendrás una probabilidad de 1 en 58 de acertar el siguiente número. Si continuamos con este patrón para seis bolas, terminamos con una ecuación matemática que se ve así:
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Sin embargo, dado que el orden de estos números no importa, debemos tener esto en cuenta en nuestra ecuación. Para hacer esto, necesitará dividir el número de posibles selecciones de 59 números por el número de combinaciones de selecciones. Déjame explicarte más.
Eche un vistazo a nuestra primera ecuación 59 * 58 * 57 * 56 * 55 * 54. Esto nos dará la probabilidad de que se seleccionen 6 números en la lotería. Digamos que los números seleccionados fueron 2, 6, 35, 57, 8 y 13. Si el orden importaba, lo que significa que solo puede ganar si tiene 2, 6, 35, 57, 8 y 13 en ese orden específico, entonces sus posibilidades de ganar serían de una en 32.441.381.280. ¡Guauu! ¡Esa es una gran cantidad! ¡Y no hay muchas posibilidades de ganar!
Sin embargo, debido a que el orden no importa, su boleto podría verse así: 2, 35, 57, 8, 6, 13 o 13, 35, 8, 6, 57, 2. ¿De cuántas formas diferentes puede reorganizar estos números? Para averiguarlo, simplemente multiplica 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Este es otro ejemplo de factorial. ¡El factorial de 6! es lo mismo que 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.
Ahora nuestra ecuación se ve así:
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Ahora, debe agregar la posibilidad de obtener el número de bonificación correcto. Habrá una bola de poder correcta de 35 opciones. Para calcular esta información, simplemente multiplique el número de opciones por la probabilidad de los primeros seis números. En nuestro caso, el número de opciones es 35, ya que puede elegir los números del 1 al 35 para el número de bonificación. Como solo estamos trabajando con un número aquí, en lugar de seis, no tenemos que preocuparnos por el pedido en absoluto.
¡Ahí lo tienes! Megan tiene una probabilidad de 1 entre 1,577,011,590 de ganar esta lotería en particular.
Resumen de la lección
Recuerde, encontrar la probabilidad de ganar la lotería requiere conocimiento y uso de la fórmula de combinación y factoriales.
La fórmula de combinación es una fórmula de probabilidad que usa factoriales para encontrar el número de combinaciones posibles de todos los resultados del experimento. La fórmula de combinación se ve así:
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Puede usar esta fórmula para encontrar sus posibilidades de ganar cuando hay un número determinado de resultados (como elegir 4 números del 1 al 10 sin números repetidos) y el orden no importa.
Una vez que determine la cantidad de combinaciones posibles, puede usar el valor esperado, que es la cantidad de resultados exitosos que se esperan en un experimento. El valor esperado se ve así: P = 1 / n . En otras palabras, usted tiene 1 entre muchas combinaciones de posibilidades de ganar.
Si tiene un factor adicional, como un número de bonificación, puede multiplicar su fórmula de combinación por el número de posibles resultados de ese factor (como multiplicar la probabilidad de adivinar 6 números correctos en cualquier orden y un número adicional, como el bono ).
Muchas personas, en algún momento de sus vidas, están seguras de que todos sus problemas pueden resolverse al ganar la lotería. Los estadísticos, sin embargo, tienen una perspectiva ligeramente diferente. Es más probable que le alcance un rayo dos veces en su vida que ganar la lotería.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya estudiado la lección sobre loterías en su totalidad, estos objetivos podrían estar a su alcance:
- Proporcione una descripción de las loterías y los valores esperados.
- Calcule las probabilidades de una lotería Pick 4 utilizando la fórmula combinada
- Determine los valores esperados para los juegos de lotería que tienen números de bonificación
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