Función de paso: definición, ecuación y ejemplos

Función de paso

Matemáticamente hablando, una función escalonada es una función cuya gráfica parece una serie de pasos porque consiste en una serie de segmentos de líneas horizontales con saltos en el medio. Por esta razón, a veces también se le llama función de escalera.

Una función escalonada tiene un valor constante en intervalos dados, pero la constante es diferente para cada intervalo. El valor constante en cada intervalo crea la serie de líneas horizontales, y el hecho de que la constante sea diferente para cada intervalo crea los saltos entre cada segmento de línea horizontal. Es por eso que la gráfica de una función escalonada parece un conjunto de escaleras.

Para ayudarnos a comprender mejor esta definición, consideremos un ejemplo del mundo real. Supongamos que empiezo un negocio de limpieza. Decido cobrar a cada cliente en función de las horas que trabajo para ese cliente.

Mi estructura de carga es la siguiente:

• Menos de una hora: $ 10.00
• Una hora hasta dos horas: $ 20.00
• Dos horas hasta tres horas: $ 30.00
• Tres horas hasta cuatro horas: $ 40.00

Esto significa que si trabajo entre 1 y 59 minutos, cobro $ 10.00. Si trabajo entre 1 hora y 1 hora y 59 minutos, cobro $ 20.00 y así sucesivamente. Vemos que la cantidad que cobro permanece constante en cada intervalo de una hora, pero varía en cada uno de esos intervalos, porque aumenta cada hora. Aquí está el gráfico correspondiente a este ejemplo.

Es fácil ver en este gráfico por qué una función de escalón a veces se llama función de escalera; se ve exactamente como un conjunto de escaleras.

Mayor función de entero

En matemáticas, un ejemplo común utilizado para introducir funciones escalonadas es la función de número entero mayor (también llamada función de piso). La función de número entero más grande a menudo se representa como x con corchetes inferiores alrededor.

Asigna cada número real x al mayor entero que es menor o igual que x . Independientemente de lo que pongamos en la función de entero mayor, obtenemos el entero mayor que sea menor o igual a esa entrada como nuestra salida. Aquí está la gráfica de la función entera más grande.

Es fácil ver que la función de número entero más grande es una función escalonada de su gráfica.

Función de mínimo entero

Consideremos otro ejemplo de una función escalonada que es muy similar a la función de número entero mayor. Se denomina función de número entero mínimo (también conocida como función de techo). La función de menor número entero a menudo se representa como x con corchetes superiores alrededor.

La función de mínimo entero es una función de paso que asigna, o mapea, cada número real x al entero más pequeño que es mayor o igual que x . Lo que sea que pongamos en la función de menor número entero, obtenemos el número entero más pequeño que es menor o igual a esa entrada como nuestra salida. La función de menor número entero se muestra en el gráfico en pantalla.

Vemos que la gráfica de la función de menor número entero parece un conjunto de escaleras, como debería ser ya que se trata de una función escalonada.

Observe que la función piso contiene el punto final izquierdo de cada intervalo y no el derecho, pero la función techo contiene el punto final derecho de cada intervalo y no el izquierdo; de aquí es de donde obtienen sus nombres. La función de techo contiene el punto final mayor de cada intervalo (el techo) y la función de piso contiene el punto final más pequeño de cada intervalo (el piso). Nuestro ejemplo empresarial de limpieza es una variación de la función del piso porque contiene el punto final más pequeño de cada intervalo.

Función Heaviside

Otro ejemplo muy simple de función escalonada es la función escalón heaviside , que también se conoce como función escalón unitario y se utiliza en ingeniería y en el estudio de corrientes eléctricas. Esta función, denotada por H , es una función definida como sigue:

• Si x <0, entonces H (x) = 0
• Si x = 0, entonces H (x) = 1/2
• Si x > 0, entonces H (x) = 1

Por ejemplo, H (4.5) = 1, H (-2.35) = 0 y H (0) = 1/2. Por lo tanto, la función Heaviside tiene solo un paso, como se muestra en su gráfico, pero aún satisface la definición de una función paso.

Resumen de la lección

En matemáticas, la función escalón es una función que tiene un valor constante a lo largo de intervalos dados, con un valor constante que varía entre intervalos. El nombre de esta función proviene del hecho de que cuando grafica la función, se ve como un conjunto de escalones o escaleras.

Exploramos tres ejemplos clásicos de funciones escalonadas. La función de entero mayor se define como el entero mayor que es menor o igual a nuestra entrada. La función de menor número entero se define como el menor número entero mayor o igual a nuestra entrada. La función heaviside es igual a 0 cuando nuestra entrada es menor que 0, igual a 1/2 cuando nuestra entrada es igual a 0 e igual a 1 cuando nuestra entrada es mayor que 0.

Términos clave

Función de paso : una función cuyo gráfico parece una serie de pasos porque consta de una serie de segmentos de línea horizontal con saltos en el medio.

Función de número entero mayor , también conocida como función de piso; esta función es un ejemplo común utilizado para introducir funciones escalonadas

Función de mínimo entero : también conocida como función de techo; esta es una función escalonada que asigna, o mapea, cada número real x al entero más pequeño que es mayor o igual que x

Función escalón Heaviside – la función escalón unitario; utilizado en ingeniería y en el estudio de corrientes eléctricas

Los resultados del aprendizaje

Luego de ver la lección sobre las funciones de pasos, confirme lo que aprendió haciendo lo siguiente:

• Señalar funciones escalonadas en un gráfico
• Identificar y definir tres tipos diferentes de funciones escalonadas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador