Raíces complejas e irracionales: definiciones y ejemplos

Ecuaciones cuadráticas

Suponga que está construyendo un corral cuadrado en su patio trasero para su perro y quiere que su perro tenga un área de cuatro metros para jugar. ¿Qué longitud deberían tener los lados? Podemos modelar esta situación con una ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática es una ecuación donde el exponente más alto es dos.

Si usamos x para representar la longitud de un lado de la pluma, podemos escribir una ecuación para encontrar la longitud. Sabemos que el área debe ser de 4 metros y el área de un cuadrado es el lado al cuadrado.

Para resolver esta ecuación, necesitamos sacar la raíz cuadrada de cada lado. Cuando sacamos la raíz cuadrada de 4, obtenemos 2 o -2. En este caso, -2 no podría ser una respuesta porque no podemos medir – 2 metros. Por lo tanto, cada lado del bolígrafo debe tener dos metros de largo.

Podemos graficar la ecuación que establecimos en el ejemplo anterior en el plano de coordenadas. Para graficar la ecuación, restamos 4 de ambos lados y igualamos la ecuación a y .

Las soluciones de la ecuación fueron 2 y -2. Si observa la gráfica de arriba, observe que la gráfica interseca el eje x en 2 y -2. Las soluciones de la ecuación cuadrática son las mismas que las intersecciones x de la gráfica. Estas soluciones e intersecciones x también se denominan raíces de la ecuación . Observe que son números enteros y los podemos ver fácilmente en la gráfica.

Raíces irracionales

¿Qué sucede si la gráfica de una ecuación cuadrática no tiene intersecciones x enteras?

El gráfico anterior no cruza el eje x en puntos enteros. Sabemos que cruza en algún lugar entre -1 y -2, y 1 y 2. Para encontrar exactamente dónde se cruza esta gráfica, necesitamos mirar la ecuación. Queremos saber las intersecciones con x , así que realmente necesitamos saber qué es x cuando y = 0. Por lo tanto, reemplazaremos y con 0. Luego, necesitamos resolver para x , por lo que sumamos tres a ambos lados.

Ahora, para resolver x , debemos sacar la raíz cuadrada de cada lado.

Dado que 3 no es un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada es un número irracional. Un número irracional es un número que no se puede escribir como una fracción, a / b , donde a y b son números enteros. Es un decimal que no se repite ni termina. La raíz cuadrada de 3 es un número irracional. Sin embargo, podemos sacar la raíz cuadrada y redondear el decimal. Esto significa que obtendremos una respuesta aproximada.

Podemos comprobar nuestras soluciones mirando hacia atrás en el gráfico. Recuerde que dijimos que las soluciones estaban entre -2 y -1 y entre 1 y 2. Nuestras soluciones de -1,7 y 1,7 están entre esos dos valores.

Raíces complejas

Hasta ahora, hemos visto dónde las soluciones podrían ser puntos enteros en el gráfico o dónde son irracionales. Hay otra posible solución de una ecuación cuadrática, y es si la gráfica no cruza el eje x en absoluto.

Observe que la gráfica no cruza el eje x . Esto significa que no existen soluciones reales. Sin embargo, tenemos soluciones complejas. Las soluciones o raíces complejas son números que tienen una parte imaginaria. La parte imaginaria, i , se encuentra al sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

La ecuación del gráfico anterior es:

Si quisiéramos resolver esta ecuación, seguiríamos los mismos procedimientos que el anterior. Primero, reemplazaremos y con 0. Luego restaremos 4 de ambos lados.

Ahora necesitamos sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

No podemos sacar la raíz cuadrada de -4 porque no hay un número al cuadrado que pueda ser igual a un número negativo. (-2) (- 2) = 4 y (2) (2) = 4, por lo que no hay raíz cuadrada de -4. Aquí es donde entran los números imaginarios. Un número imaginario , i , es igual a la raíz cuadrada del negativo 1.

Para simplificar y resolver nuestra ecuación anterior, vamos a cambiar el negativo dentro de la raíz cuadrada a una i y viene fuera del radical.

Podemos sacar la raíz cuadrada de 4 positivo, y eso es positivo y negativo 2.

Ejemplos:

1. Resuelve:

Para resolver, suma 25 a ambos lados y luego saca la raíz cuadrada de ambos lados.

2. Resuelve:

Para resolver, suma 20 a ambos lados y luego saca la raíz cuadrada de ambos lados. 20 no es un cuadrado perfecto, por lo que redondeamos a la décima más cercana.

3. Resuelve:

Para resolver, reste 25 de cada uno y luego saque la raíz cuadrada de ambos lados. Ya que no podemos sacar la raíz cuadrada de menos 25, necesitamos sacar el negativo y poner una i delante del radical.

Resumen de la lección

Cuando decimos, resuelve una ecuación cuadrática, realmente estamos buscando las soluciones o raíces de las ecuaciones que son las intersecciones x .

Hay tres posibles soluciones para una ecuación cuadrática.

• Soluciones enteras: la ecuación tiene un cuadrado perfecto y las intersecciones x son puntos en la gráfica.
• Soluciones irracionales: la ecuación no tiene un cuadrado perfecto, pero las soluciones se pueden encontrar tomando la raíz cuadrada y redondeando.
• Soluciones complejas: la ecuación no tiene soluciones reales y no tiene intersecciones en x . Las soluciones se pueden encontrar tomando la raíz cuadrada de un negativo y cambiándola por una i .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador