Escribir ecuaciones cuadráticas para puntos dados

Escribir ecuaciones cuadráticas

¡Arte en la nube! ¿Lo has probado alguna vez? Miras las nubes y ves una obra de arte. Luego, describe lo que ve. Mmmm, tres formas principales: relacionadas pero diferentes.

Esas tres formas diferentes son como las tres formas de las ecuaciones cuadráticas: la forma de vértice, la forma de intersección en x y la forma estándar. Necesitas información para escribir la ecuación cuadrática. Normalmente, esta información está disponible en uno de tres escenarios. Se nos da:

• un punto y el vértice,
• un punto y las intersecciones con x , o
• Tres puntos

¡Tres formas, tres escenarios, y tú eres el único matemático! Desvelemos esta situación haciendo ejemplos.

Punto dado y vértice

Digamos que tenemos un punto en la curva en (-1, 3) y el vértice ubicado en (3, -1).

Punto y vértice

Como puede ver en esta imagen, usamos la forma de vértice de la ecuación cuadrática:

y = a ( x – h ) 2 + k .

¿Ves el vértice en (3, -1)? Dado que la forma general de escribir el vértice es ( h , k ), comparamos ( h , k ) con (3, -1). Esto significa h = 3 y k = -1. Sustituyendo estos valores por h y k en y = a ( x – h ) 2 + k obtenemos y = a ( x – 3) 2 – 1. ¡Cuidado con los signos! No quieres que llueva sobre tus resultados. Se ve bien, pero aún necesitamos el valor de un .

• Utilice el punto dado (-1, 3), que dice y es 3 para x igual a -1. Sustituyendo x e y : 3 = un (-1 – 3) 2 – 1 => 3 = una (-4) 2 – 1.
• Ahora, simplifica y resuelve para a : 3 = 16 a – 1 => a = (3 + 1) / 16 = 4/16 = 1/4 = 0.25.

Por lo tanto, nuestra ecuación cuadrática en forma de vértice es y = 0.25 ( x – 3) 2 – 1.

¿Qué hemos aprendido hasta ahora? Cuando se da el vértice, usamos la forma de vértice. Se ha aclarado una de esas formas de nubes.

Punto dado y intersecciones en X

En el siguiente escenario, se nos dan las intersecciones en x y un punto en la curva. El punto es (6, 5/4) y las intersecciones x están ubicadas en (1, 0) y (5, 0).

X-intersecciones y punto

La forma cuadrática a utilizar es la forma de intersecciones x , que es, como puede ver en esta imagen:

y = a ( x – p ) ( x – q ).

¿Ves la p y la q en la ecuación? Esos son los valores de la intercepción x . De (1, 0) queremos el valor de x que es 1. Lo mismo para (5, 0); solo el valor de x . Esos valores de x son la p y la q . Eso significa que p es 1 y q es 5. Sustituir el 1 y el 5 en la ecuación nos da y = a ( x – 1) ( x – 5). Una vez más, todavía necesitamos encontrar el a .

• Utilice el punto dado (6, 5/4), que dice y = 5/4 cuando x = 6. Sustituyendo 6 por x y 5/4 por y en la ecuación: 5/4 = a (6 – 1) (6 – 5).
• Ahora, simplifique: 5/4 = a (5) (1).
• Resolviendo para a : a = 5/4 dividido por 5 = 1/4 = 0.25.

¡Hemos terminado! La ecuación cuadrática es y = 0.25 ( x – 1) ( x – 5).

Dos formas de nubes hacia abajo y una para ir. ¡Y sigue siendo un buen día!

Dados tres puntos

En el siguiente ejemplo que puede ver aquí, se nos dan tres puntos ubicados en (-1, 3), (4, -3/4) y (6, 5/4). Sin intersecciones en x y sin vértice. ¿Qué haces?

Tres puntos

Con tres puntos, usamos la forma estándar para la ecuación cuadrática:

y = ax 2 + bx + c .

¿Cómo encontramos la una , b y c ? En primer lugar, tenga en cuenta cada punto nos dice una x valor y su correspondiente y valor. Por ejemplo, el primer punto con (-1, 3) nos dice que y es 3 cuando x es -1. Cuando sustituimos -1 por x en la ecuación de forma estándar, el valor de y será 3. Hagamos esta sustitución. Obtenemos 3 = a (-1) 2 + b (-1) + c . Esto se simplifica a 3 = a – b + c . Haz lo mismo con los otros puntos y obtendremos un total de tres ecuaciones:

• (-1, 3) nos da: a – b + c = 3.
• (4, -3/4) nos da: 16 a + 4 b + c = -3/4.
• (6, 5/4) nos da: 36 a + 6 b + c = 5/4.

Podemos tomar dos de estas ecuaciones, restar una de la otra y la c se cancelará dejándonos con dos incógnitas. Esta es una característica bastante interesante de estas ecuaciones. Al restar dos pares de ecuaciones (su elección de qué pares), el problema se reduce a encontrar dos incógnitas con dos ecuaciones. Luego regresamos y encontramos c . Aquí están los detalles:

• Reste a – b + c = 3 de 16 a + 4 b + c = -3/4.
  • Esto nos da 15 a + 5 b = -15/4, que se reduce a 3 a + b = -3/4.
• Reste 16 a + 4 b + c = -3/4 de 36 a + 6 b + c = 5/4.
  • Esto da: 20 a + 2 b = 2, que se reduce a 10 a + b = 1.

Ahora tenemos dos ecuaciones con incógnitas a y b :

• 3 a + b = -3/4 y 10 a + b = 1.

Reste uno del otro: 7 a = 7/4 => a = 1/4.

De 3 a + b = -3/4 con a = 1/4: 3/4 + b = -3/4 => b = -3/2.

De a – b + c = 3: 1/4 – (-3/2) + c = 3 => c = 5/4.

También podríamos resolver estas tres ecuaciones usando un enfoque de matriz-vector. Aquí están los detalles:

Usando cualquier método de solución, encontramos a = 1/4 = 0.25, b = -3/2 = -1.5 yc = 5/4 = 1.25. Sustituyendo un , b y c en la forma cuadrática estándar Da:

y = 0,25 x 2 – 1,5 x + 1,25.

Esa última forma de nube fue divertida y ves cielos despejados por delante.

Resumen de la lección

Hay tres escenarios típicos al escribir una ecuación cuadrática a partir de puntos. Se nos da un punto y el vértice, un punto y las intersecciones en x , o tres puntos. Estos escenarios se relacionan directamente con una forma particular de la ecuación cuadrática:

• y = a ( x – h ) 2 + k (o la forma de vértice donde ( h , k ) es la ubicación del vértice).
• Y = una ( x – p ) ( x – q ) (o los x -intercepts forma donde p y q son los x -intercepts).
• y = ax 2 + bx + c (o la forma estándar ).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador