Escriba la forma estándar de una ecuación completando el cuadrado

Una ecuación cuadrática

Muchas cosas en matemáticas comienzan con una ecuación cuadrática. Y el proceso de completar el cuadrado no es una excepción. Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax ^ 2 + bx + c = 0, donde a , b y c son números y x es su variable.

El proceso conocido como completar el cuadrado cambia la ecuación cuadrática a la forma a ( x + h ) ^ 2 + k = 0, donde a , h y k son números y x es la variable. Una buena forma de recordar este proceso es pensar en el cuadrado. Desea reescribir la ecuación para que en lugar de tener su variable en dos lugares, solo tenga su variable una vez dentro de los paréntesis que están al cuadrado.

¿Por qué completar el cuadrado?

¿Por qué querrías completar el cuadrado? Es mucho más fácil resolver una cuadrática cuando tu variable está en un solo lugar, en lugar de dos. Mire la forma de la ecuación después de haber completado el cuadrado: a ( x + h ) ^ 2 + k = 0. Es mucho más fácil resolver esta ecuación para x que si la dejamos en nuestra forma de ecuación cuadrática.

Podemos resolver fácilmente nuestra ecuación cuadrada completa moviendo la k y luego dividiéndola por a , luego sacando la raíz cuadrada y luego moviendo la h para obtener x por sí misma. Para resolver la ecuación cuadrática, tendríamos que usar la fórmula cuadrática, x = (- b +/- raíz cuadrada de ( b ^ 2 – 4 ac )) / (2 a ), que no es tan fácil.

Encontrar el cuadrado

Entonces, ¿cuál es este proceso de completar el cuadrado? El primer paso es encontrar nuestro cuadrado. No es tan dificíl como suena. Repasemos este proceso completando el cuadrado de la ecuación cuadrática 2 x ^ 2 + 4 x + 6 = 0.

Primero, movemos el 6 para que todas nuestras variables estén en un lado y nuestras constantes en el otro. Como se suma nuestro 6, restaremos el 6 de ambos lados para moverlo.

2 x ^ 2 + 4 x + 6 – 6 = 0 – 6

2 x ^ 2 + 4 x = -6

Ahora vamos a dividir toda la ecuación por 2, lo que significa que vamos a dividir cada término por 2 para que tengamos nuestro x ^ 2 por sí mismo.

2 x ^ 2/2 + 4 x / 2 = -6/2

x ^ 2 + 2 x = -3

Esta es la parte donde encontramos el cuadrado. Queremos que el lado izquierdo de nuestra ecuación se vea como x más algo al cuadrado: ( x + algo) ^ 2. Entonces, la pregunta que debemos hacernos es ¿qué número debemos sumar al lado izquierdo para que cuando factoricemos el lado izquierdo obtengamos ( x + algo) ^ 2?

Para encontrar este número, dividimos el número junto a la x por 2 y luego lo elevamos al cuadrado. El número que tenemos al lado de la x es un 2, por lo que lo dividiremos entre 2 y luego lo elevaremos al cuadrado. Si nuestro letrero delante de nuestro 2 fuera un signo menos, estaríamos trabajando con un -2. Entonces, vigile su cartel. Al hacer esto, obtenemos 2/2 = 1 y 1 ^ 2 = 1. Entonces, el número que necesitamos sumar es 1. Hemos encontrado nuestro cuadrado.

Completando el cuadrado

Ahora, para completar nuestro cuadrado, agrego este 1 a ambos lados.

x ^ 2 + 2 x + 1 = -3 + 1

Ahora puedo factorizar el lado izquierdo de esta ecuación para obtener ( x + 1) ^ 2. El número que utilizo entre paréntesis es el número que obtengo cuando divido mi número junto a la x entre 2. Recuerda mantener el signo delante del 2 cuando hagas esto.

( x + 1) ^ 2 = -3 + 1

( x + 1) ^ 2 = -2

Para conseguirlo en la forma que quiero, mi último y último paso es mover el número del lado derecho al izquierdo. Mi número de la derecha es -2, así que agrego un 2 a ambos lados.

( x + 1) ^ 2 + 2 = -2 + 2

( x + 1) ^ 2 + 2 = 0

Y tengo mi respuesta de ( x + 1) ^ 2 + 2 = 0, ¡y terminé! Pasé de mi ecuación cuadrática de 2 x ^ 2 + 4 x + 6 = 0 a mi ecuación cuadrada completa de ( x + 1) ^ 2 + 2 = 0.

Resumen de la lección

¡Date una palmadita en la espalda por un trabajo bien hecho! Ahora puede ponerse a prueba con preguntas de prueba para ver si realmente ha entendido este proceso. Pero antes de hacer eso, hagamos una revisión rápida.

Hemos aprendido que una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax ^ 2 + bx + c = 0, donde a , b , y c son números y x es la variable, y el proceso conocido como completar el cuadrado cambia la ecuación cuadrática ecuación a la forma a ( x + h ) ^ 2 + k = 0, donde a , h y k son números y x es la variable.

Realizamos el proceso de completar el cuadrado porque nos da una ecuación que es más fácil de resolver. El proceso en sí implica encontrar el número que nos permitirá reescribir nuestra ecuación para que nuestra variable solo se escriba una vez dentro de un par de paréntesis al cuadrado. Para hacer esto, primero movemos nuestra constante c hacia la derecha. Luego dividimos todos nuestros términos por nuestro número a . Luego dividimos nuestro número b por 2 y luego lo elevamos al cuadrado para encontrar el número para completar el cuadrado. Luego sumamos este número a ambos lados, factorizamos el lado izquierdo y movemos el número de la derecha hacia la izquierda para obtener nuestra ecuación cuadrada final completa.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, debería poder:

• Identificar una ecuación cuadrática
• Aplicar el proceso de completar el cuadrado para resolver más fácilmente una ecuación cuadrática

Rodrigo Ricardo Editor y fundador