Intersecciones de las gráficas de dos ecuaciones como soluciones

Gráficas de ecuaciones

Suponga que acaba de encontrar una oferta mientras compraba comestibles en la que puede quitar $ 3 del costo total de la mezcla de frutos secos, donde cada libra cuesta $ 7. En otras palabras, el costo total se puede representar mediante la siguiente fórmula:

• f ( x ) = 7 x – 3, donde x es la cantidad de libras de mezcla de frutos secos que compra

Esta fórmula se llama ecuación en matemáticas y es una declaración que dice que dos expresiones algebraicas son iguales. Una solución a una ecuación es un punto ( un , b ), de manera que si el enchufe de una en para x y b en para y (o f ( x )) en la ecuación, se obtiene una declaración verdadera.

Por ejemplo, el punto (2, 11) es una solución a nuestra ecuación de costos, porque si conectamos x = 2 e y = 11 en la ecuación, obtenemos un enunciado verdadero:

• 11 = 7 (2) – 3 = 14 – 3 = 11

Esta solución nos dice que si compramos dos libras de mezcla de frutos secos, nuestro costo total será de $ 11.

Como las soluciones de ecuaciones son puntos, tiene sentido que podamos representar nuestra ecuación gráficamente. Básicamente, la gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que hacen que la ecuación sea verdadera, por lo que es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación.

Considere la gráfica de nuestra ecuación de costos.

La gráfica es una línea y cada punto de esa línea es una solución a la ecuación f ( x ) = 7 x – 3. Vemos que nuestro punto (2,11) está ahí, que ya sabíamos que era una solución. También vemos que el punto (4,25) también está ahí, por lo que debería ser una solución a la ecuación.

• 25 = 7 (4) – 3 = 28 – 3 = 25

¡Bastante seguro! Si conectamos x = 4 e y = 25 en nuestra ecuación, obtenemos un enunciado verdadero.

Intersecciones de gráficas de dos ecuaciones como soluciones

Ahora suponga que encuentra otra oferta en manzanas secas, de modo que obtiene $ 1 de descuento en el costo total de las manzanas secas, donde una libra cuesta $ 6. En este caso, podemos representar el costo total de las manzanas secas con la siguiente ecuación:

• g ( x ) = 6 x – 1

Decide que desea obtener una mezcla de frutos secos y manzanas secas, pero desea gastar la misma cantidad de dinero en cada una de ellas, por lo que desea encontrar la cantidad de libras de cada una que resultaría en el mismo costo. En otras palabras, queremos encontrar el valor de x que haría f ( x ) = g ( x ).

Tu primer pensamiento puede ser resolver esto algebraicamente estableciendo f ( x ) = g ( x ) y resolviendo para x .

Esto ciertamente funciona, pero ¿sabías que también podríamos resolver este problema gráficamente? Verá, dado que estamos tratando de encontrar un valor de x que haga f ( x ) = g ( x ), estamos buscando el valor x de un punto, ( a , b ), donde ( a , b ) es una solución para f ( x ) y g ( x ).

Como dijimos, si un punto está en la gráfica de una ecuación, es una solución a esa ecuación, así que si podemos encontrar un punto que esté tanto en f ( x ) como en g ( x ), entonces ese punto sería un solución a ambas ecuaciones, y eso sucedería donde las gráficas de las dos ecuaciones se cruzan.

¡Ah-ja! Esto nos dice que el punto de intersección de dos gráficas, f ( x ) yg ( x ), es igual a una solución de ambas ecuaciones gráficas, por lo que el valor x de este punto de intersección sería una solución de f ( x ) = g ( x ). Veamos el punto de intersección de f ( x ) y g ( x ) en nuestro ejemplo.

Vemos que el punto de intersección es (2,11), así que cuando x = 2, las dos funciones tienen el mismo valor de 11. Por lo tanto, si compramos dos libras de mezcla de frutos secos y 2 libras de manzanas secas, pagaremos el misma cantidad de $ 11 para cada uno. Esto es exactamente lo que obtuvimos cuando resolvimos el problema algebraicamente.

Pasos para encontrar la solución a dos ecuaciones mediante gráficas

¡Todo esto es genial! Vemos que, en general, podemos usar los puntos de intersección de las gráficas para encontrar soluciones a dos ecuaciones, f ( x ) y g ( x ), y en el proceso, encontrar una solución a la ecuación f ( x ) = g ( x ). Para ello, solo seguimos unos sencillos pasos.

1. Grafique f ( x ) y g ( x ) en la misma gráfica.
2. Encuentra su punto de intersección. Es muy útil utilizar un dispositivo de gráficos para hacer esto para una mayor precisión.
3. El punto de intersección es una solución tanto de f ( x ) como de g ( x ), por lo que el valor x del punto de intersección es la solución de f ( x ) = g ( x ).

¡Guauu! ¡Salir así seguramente simplifica las cosas!

Resumen de la lección

Una ecuación es un enunciado que dice que dos expresiones algebraicas son iguales. La solución a una ecuación es un punto ( un , b ), de manera que si el enchufe de x = una y y = b en la ecuación, obtenemos una declaración verdadera.

La gráfica de una ecuación es simplemente todas las soluciones de la ecuación trazadas en una gráfica. El punto de intersección de dos gráficos es un punto que se encuentra en ambos gráficos y, por lo tanto, es una solución para ambas ecuaciones. Debido a esto, podemos usar puntos de intersección de gráficas de ecuaciones para encontrar soluciones a dos ecuaciones, f ( x ) y g ( x ), donde el valor x del punto de intersección es una solución de f ( x ) = g ( x ) siguiendo tres sencillos pasos:

1. Grafica f ( x ) y g ( x ) en la misma gráfica.
2. Usando un dispositivo gráfico, encuentre los puntos de intersección de los gráficos.
3. El valor x del punto de intersección es una solución de f ( x ) = g ( x ).

¡Es tan fácil como 1, 2, 3!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador