Estimación de la pendiente de funciones

Estimación de la pendiente de una función lineal

Digamos que tienes un gatito llamado Euler hace cuatro años y has graficado el peso de Euler desde su nacimiento. Consideremos los primeros tres meses.

Observe que debido a que el peso de Euler creció a un ritmo constante durante los primeros tres meses, la gráfica de su peso con respecto al tiempo es una gráfica de una función lineal (o una línea). Además, la velocidad a la que ha aumentado el peso se denomina pendiente de una línea.

En general, la pendiente de una línea es la tasa a la que y cambia con respecto a x . En este escenario, la pendiente es la tasa a la que cambia el peso de Euler con respecto al tiempo en meses.

Tenemos una buena fórmula para encontrar la pendiente de una línea si tenemos dos puntos en la línea, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ). Eso es como sigue:

• Pendiente = ( y 2 – y 1 ) / ( x 2 – x 1 )

Por lo tanto, cuando tenemos una gráfica de una línea, podemos estimar su pendiente en dos sencillos pasos:

1. Encuentra dos puntos que parezcan caer en la línea.
2. Utilice nuestra fórmula de pendiente.

Por ejemplo, observe nuevamente la gráfica del peso de Euler. Parece que los dos puntos (1, 2) y (2, 4) caen en la línea (estos no tienen que ser exactos ya que se trata de una estimación), por lo que podemos estimar la pendiente utilizando nuestra fórmula con estos dos puntos.

Vemos que la pendiente de la línea a través de los puntos estimados (1,2) y (2,4) es 2. Esto nos dice que en los primeros tres meses, el peso de Euler creció a una tasa constante de alrededor de 2 libras por mes.

Estimación de la pendiente de una función no lineal

Ahora suponga que extendemos la gráfica del peso de Euler hasta el presente.

Observe que la gráfica ya no es la gráfica de una línea, por lo que es una función no lineal que ahora adopta el patrón de crecimiento rápido al principio, pero luego mucho más lentamente a medida que pasa el tiempo. Esta gráfica representa una función logarítmica y la pendiente no es tan simple como la pendiente de una línea. Sin embargo, todavía podemos estimar la pendiente de esta función logarítmica (o cualquier función, para el caso) en un punto dado utilizando líneas tangentes.

La línea tangente de una gráfica, en un punto dado, es la línea que toca la línea exactamente en ese punto y no cruza la gráfica. Por ejemplo, considere la línea que es tangente a la gráfica de Euler en x = 12.

Es posible que ya esté reuniendo esto en su mente, pero observe que la línea tangente tiene una pendiente que es igual a la pendiente del gráfico en el punto donde la línea tangente toca el gráfico. Por lo tanto, para estimar la pendiente de una función no lineal en un punto dado, solo necesitamos estimar la pendiente de la recta tangente en ese punto. Esto conduce a los siguientes pasos para estimar la pendiente de una función no lineal en un punto dado, ( x , y ):

1. Dibuja la recta tangente al gráfico en el punto ( x , y ).
2. Estima la pendiente de la recta tangente. Esta es la pendiente estimada de su función en el punto ( x , y ).

Intentemos esto. Supongamos que queremos saber cómo cambiaba el peso de Euler al año o al cabo de 12 meses. Para hacer esto, primero dibujamos en la recta tangente de la gráfica donde x = 12. Esto se hace por nosotros en nuestra gráfica de una recta tangente.

Ahora, solo necesitamos estimar la pendiente de la recta tangente. Parece que la línea pasa por los puntos (8,9) y (12,10). ¡Todo lo que tenemos que hacer es introducir esto en nuestra fórmula de pendiente!

Obtenemos que la pendiente estimada de la línea tangente en x = 12 es 1/4, por lo que en la marca de un año, Euler estaba ganando peso a una tasa aproximada de 1/4 de libra por mes.

Otro ejemplo

¡Un ejemplo más! Dada la gráfica de la función cuadrática y = x 2 + 2 x – 1, queremos estimar la pendiente de la función en (2,7).

Primero, dibujamos en la línea tangente a la gráfica en (2,7) y encontramos dos puntos que parecen caer sobre la línea.

Parece que los puntos (2,7) y (1,1) caen en la línea, así que los reemplazamos en nuestra fórmula de pendiente.

Obtenemos que la pendiente estimada de la función y = x 2 + 2 x – 1 en (2,7) es 6. ¡Definitivamente estamos entendiendo esto!

Resumen de la lección

La pendiente de una recta es la tasa a la que y cambia con respecto a x . Si tenemos dos puntos en una línea, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), entonces podemos encontrar la pendiente usando la siguiente fórmula:

• Pendiente = ( y 2 – y 1 ) / ( x 2 – x 1 )

Podemos estimar la pendiente de una función lineal simplemente encontrando dos puntos que parecen caer sobre la línea y luego usando nuestra fórmula. Para estimar la pendiente de una función no lineal en un punto dado, usamos líneas tangentes, donde una línea tangente en un punto ( x , y ) en una gráfica es una línea que toca la gráfica en ( x , y ) pero no No cruce el gráfico. Para estimar la pendiente de una función no lineal en el punto ( x , y ), usamos estos pasos:

1. Dibuja la recta tangente al gráfico en el punto ( x , y ).
2. Estima la pendiente de la recta tangente.

Este es un proceso muy útil cuando se trata de todo tipo de funciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador