Relaciones proporcionales en triángulos

Triángulos similares

En el lenguaje cotidiano, la palabra «similar» simplemente significa «similar», pero en matemáticas tiene un significado especial.

En triángulos similares , los ángulos son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. Los lados correspondientes son los lados opuestos al mismo ángulo. Por ejemplo, si dos triángulos ambos tienen un ángulo de 90 grados, el lado opuesto al ángulo sobre el Triangle A corresponde al lado opuesto al ángulo de 90 grados sobre el Triangle B .

Los lados no tienen que tener exactamente la misma longitud, siempre y cuando todos los lados de un triángulo estén en la misma proporción que los lados correspondientes del otro triángulo. He aquí un ejemplo.

Los lados proporcionales son una característica de triángulos similares, pero también tienen un montón de otras relaciones proporcionales, y en esta lección, repasaremos algunas de ellas.

Lados y perímetros

Empezaremos por los perímetros. Nos acabamos de cubrir la regla de que si Triángulo A y el triángulo B son similares, cada lado del triángulo A es proporcional a la parte correspondiente del triángulo B . Esa relación también se extiende a los perímetros. El perímetro de un triángulo es la distancia completa alrededor del borde del triángulo, o la suma de los tres lados.

Dado que todos los lados son proporcionales, no es tan difícil de ver cómo todo el perímetro del triángulo Una sería proporcional a todo el perímetro del triángulo B .

Segmentos especiales

Ahora hablemos de algunos segmentos especiales de triángulos similares. Estos tres segmentos suenan igual porque todos involucran una línea que se extiende desde un ángulo del triángulo hasta el lado opuesto, pero preste atención a las distinciones entre ellos.

La mediana de un triángulo es una línea trazada desde un ángulo hasta el punto medio del lado opuesto. Cada triángulo tiene tres medianas. Puedes recordar esto recordando que los triángulos también tienen tres lados. Cada mediana divide el triángulo en dos triángulos similares de igual área.

En un par de triángulos similares, las medianas correspondientes son proporcionales, al igual que los lados correspondientes. Para probar esto, mire un par de triángulos similares; las medianas se muestran en violeta. En estos triángulos, la razón de cada lado del triángulo grande a cada lado del triángulo más pequeño es 2: 1. Entonces, si las medianas correspondientes son proporcionales, también deberían estar en una proporción de 2: 1.

Cada mediana divide el lado C de ese triángulo en dos segmentos de igual longitud. Básicamente, esto divide cada triángulo más grande en dos triángulos más pequeños. Echemos un vistazo más de cerca a solo un par de estos triángulos más pequeños. Aquí, tenemos dos pares de lados proporcionales y un ángulo igual entre ellos. Según la regla del lado-ángulo-lado, esto prueba que estos dos triángulos son similares. Dado que los triángulos son similares, las dos medianas en violeta deben ser proporcionales en la misma proporción que los otros lados, es decir, 2: 1.

En triángulos similares, las bisectrices de los ángulos correspondientes también son proporcionales en la misma medida que los lados correspondientes. Una bisectriz de ángulo es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales y se extiende a lo largo del triángulo hasta el lado opuesto. ¿Por qué las bisectrices de los ángulos son proporcionales? Vamos a ver.

Este es el mismo par de triángulos, con cada lado del triángulo grande dos veces más largo que el lado correspondiente del triángulo pequeño. Si dibujamos bisectrices de ángulo a través del ángulo E en cada uno de estos triángulos, estamos dividiendo cada triángulo en dos triángulos más pequeños, tal como hicimos con la mediana.

Si miramos el par superior de triángulos, podemos ver que dos de las medidas de los ángulos son iguales; ambos triángulos superiores tienen un ángulo con medida D y otro con medida E / 2. Dado que todos los ángulos de un triángulo tienen que sumar 180, el tercer ángulo también será el mismo entre los dos triángulos superiores; Digamos que es G .

Mediante el teorema de ángulo-ángulo-ángulo, ahora hemos demostrado que estos triángulos son similares entre sí. Eso significa que sus lados son proporcionales. Podemos ver que los lados A y A * son proporcionales en la proporción de 2: 1, por lo que las dos bisectrices de los ángulos en naranja deben ser proporcionales entre sí en la proporción de 2: 1.

Finalmente, las altitudes correspondientes de triángulos similares también son proporcionales. Una altitud es una línea que se extiende desde un vértice del triángulo para formar un ángulo recto con el lado opuesto. En triángulos similares, las altitudes también son proporcionales en la misma proporción que los lados. Para probar esto, dibujaremos algunas altitudes en nuestro par de triángulos similares.

Si solo miramos la mitad inferior de este diagrama, podemos ver que tenemos un par de triángulos más pequeños. Podemos ver que tienen dos ángulos iguales: ambos tienen Ángulo F y ambos tienen otro ángulo de 90 grados. Llamaremos G al tercer ángulo . Dado que todos los ángulos en cada triángulo suman 180, sabemos que G debe tener la misma medida en ambos triángulos. Como conocemos los tres ángulos, sabemos que los triángulos son similares.

Podemos ver que la razón del lado B al lado B * es 2: 1. Dado que los triángulos son similares, todos los lados son proporcionales con la misma razón de 2: 1.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre algunas relaciones proporcionales en triángulos similares. En triángulos similares , los ángulos son todos iguales y los lados son proporcionales entre sí. Otras medidas que son proporcionales en triángulos similares incluyen:

• Los perímetros de los triángulos, o la distancia alrededor de sus bordes
• Las medianas correspondientes , líneas que se extienden desde los ángulos correspondientes hasta el punto medio del lado opuesto.
• Las bisectrices de los ángulos correspondientes , líneas que dividen los ángulos correspondientes por la mitad
• Las altitudes correspondientes , líneas que se extienden desde los ángulos correspondientes para formar un ángulo recto con el lado opuesto.

Estos segmentos son similares, pero no son iguales.

Lección de un vistazo

Los triángulos similares poseerán algunas relaciones proporcionales entre sí. Si los ángulos son todos iguales, entonces los lados, los perímetros, las medianas correspondientes, las bisectrices de los ángulos correspondientes o las altitudes correspondientes también serían proporcionales.

En triángulos similares, los ángulos son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, debería poder:

• Definir triángulos similares
• Describe los lados y perímetros de triángulos semejantes.
• Identificar segmentos especiales de triángulos similares

Rodrigo Ricardo Editor y fundador