Relaciones Simétricas y Asimétricas: Definición y ejemplos

Relaciones en Matemáticas

Una relación es una regla bajo la cual se pueden asociar dos objetos. Más específicamente, dados dos conjuntos de objetos, {eq}A {/eq} y {eq}B {/eq}, una relación sobre estos conjuntos es otro conjunto, {eq}R {/eq}, de pares ordenados {eq }(a,b) {/eq}, donde {eq}a \in A {/eq} y {eq}b \in B {/eq}, que enumera todos los pares de elementos que se consideran relacionados el uno al otro En otras palabras, dos elementos, {eq}a {/eq} y {eq}b {/eq}, están relacionados si el par ordenado {eq}(a,b) \in R {/eq}. En general, los elementos relacionados se indican mediante {eq}a\sim b {/eq}. Se pueden usar otras notaciones para relaciones en contextos más familiares, como los símbolos de desigualdad que se usan para comparar números.

A menudo, las relaciones se definen para los elementos de un solo conjunto, es decir, {eq}A=B {/eq} arriba, y se describen mediante alguna condición verificable sobre los elementos de ese conjunto. Por ejemplo, la igualdad es una relación en el conjunto de todos los números reales, {eq}\mathbb{R} {/eq}, al igual que las diversas condiciones de desigualdad, como «mayor que» o «estrictamente menor que». Para esta última relación, podemos decir que {eq}1\sim 2 {/eq} y {eq}-2\sim 1 {/eq}, ya que {eq}-2 < 1 < 2 {/eq}.

Las relaciones se pueden definir en objetos matemáticos que no sean simplemente números. Por ejemplo, los vectores en el plano se pueden considerar relacionados si son perpendiculares y los triángulos se pueden considerar relacionados si son congruentes (lo que significa que tienen los mismos ángulos interiores). Las relaciones también se pueden definir en conjuntos del mundo real. Una relación, en el conjunto de todas las personas, podría ser la condición de ser zurdo, o hablar el mismo idioma.

Las relaciones pueden satisfacer una variedad de propiedades. Los más importantes de estos son:

• Reflexividad: una relación es reflexiva si cada elemento de un conjunto está relacionado consigo mismo, o en símbolos, {eq}a\sim a {/eq}.
• Simetría: una relación es simétrica si {eq}a\sim b {/eq} implica {eq}b\sim a {/eq}.
• Transitividad: una relación es transitiva si {eq}a\sim b {/eq} y {eq}b\sim c {/eq} implica {eq}a\sim c {/eq}.

Las relaciones que satisfacen estas tres propiedades se denominan relaciones de equivalencia . La igualdad de números es el ejemplo más familiar de una relación de equivalencia, y otras equivalencias expresan de manera similar alguna noción de «igualdad» entre otros tipos de objetos. Las relaciones que no son simétricas pueden clasificarse además como antisimétricas o asimétricas .

Relación antisimétrica

Una relación, {eq}R {/eq}, sobre un conjunto, {eq}A {/eq}, es antisimétrica si {eq}(a,b) \in R {/eq} y {eq}a\neq b {/eq}, luego {eq}(b,a) \not\in R {/eq}. Esto significa que {eq}a\sim b {/eq} implica {eq}b \not\sim a {/eq}, a menos que {eq}a {/eq} y {eq}b {/eq} sean lo mismo .

En el conjunto de los números reales, «menor que o igual» es antisimétrico, ya que si {eq}a\leq b {/eq}, entonces tampoco puede darse el caso de que {eq}b\leq a {/eq } excepto en el caso de {eq}b=a{/eq}. De manera similar, para números enteros, decir {eq}a\sim b {/eq} si {eq}a {/eq} es divisible por {eq}b {/eq} también define una relación antisimétrica, ya que si dos números cada uno dividir el otro, deben, de hecho, ser el mismo número.

Como ejemplo de relación antisimétrica del mundo real, imagine un grupo de amigos en un restaurante y una relación que dice que dos personas están relacionadas si la primera persona paga por la segunda. En la mayoría de los casos, dos personas no pagarán las cuentas del otro, pero algunas personas pueden pagar por sí mismas.

Relación asimétrica

Una relación, {eq}R {/eq}, sobre un conjunto, {eq}A {/eq}, es asimétrica si {eq}(a,b) \in R {/eq} implica {eq}(b, a) \notin R {/eq}. Esto significa que {eq}a\sim b {/eq} implica {eq}b \not\sim a {/eq}, lo que excluye la posibilidad de que {eq}a\sim a {/eq} para cualquier elemento. La asimetría es, por tanto, equivalente a que la relación sea antisimétrica e irreflexiva.

Para un conjunto de personas, la relación «es el padre de» es asimétrica. Por ejemplo, si Jane es la madre de Jack, claramente Jack no es el padre de Jane y nadie es su propio padre. Para los números reales, «menor que» es antisimétrico, ya que si {eq}a<b {/eq} entonces tampoco puede ser el caso que {eq}b<a {/eq}, y ningún número es estrictamente menor que en sí mismo.

Relación simétrica

Como se indicó anteriormente, una relación, {eq}R {/eq}, es simétrica si {eq}a\sim b {/eq} implica {eq}b\sim a {/eq}, es decir, si { eq}(a,b) \in R {/eq} implica {eq}(b,a) \in R {/eq}. En lo que respecta a simétrico frente a simétrico, el término «simétrico» tiene el mismo significado que «simétrico», pero este último es el término técnico. Cuando elija usar la palabra simétrico versus simétrico, use el primero.

En comparación con la relación asimétrica de la paternidad, la hermandad es simétrica. Si Jack es el hermano de Jill, Jill es la hermana de Jack, por lo que cada uno es hermano del otro. Una vez más, nadie es su propio hermano, por lo que esta relación es irreflexiva, pero esta condición no se requiere para la simetría.

Sobre el conjunto {eq}\mathbb{R}^2 {/eq} de puntos en el plano, podemos decir {eq}p \sim q {/eq} si los puntos caen en la misma línea vertical. Si {eq}p {/eq} cae en la línea vertical que pasa por {eq}q {/eq}, entonces claramente {eq}q {/eq} está en la misma línea que pasa por {eq}p {/eq} . Esta relación también es reflexiva, ya que claramente cualquier punto cae en la línea vertical que pasa por sí misma: lo que significa {eq}p \sim p {/eq} para todos los puntos en el plano.

Relaciones antisimétricas, asimétricas y simétricas

La siguiente tabla resume y compara las propiedades clave de las relaciones simétricas, antisimétricas y asimétricas.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & Simétrico & Antisimétrico & Asimétrico \\ \hline definición & a\sim b \implica b\sim a & a\sim b, a\ neq b \implica b\no\sim a & a\sim b \implica b\no\sim a \\ \hline reflexive? & quizás & quizás & no \\ \hline ejemplo \ en \ \mathbb{R} & = \ , \ \neq & \leq \ , \ \geq & < \ , \ > \\ \hline ejemplo \ en \ real \ vida & hermanos & pagar \ por & padre/hijo \\ \hline \end{array} $$

Resumen de la lección

Una relación es un conjunto de pares ordenados que especifica qué objetos se consideran relacionados bajo algún criterio. Las comparaciones de números, como la igualdad o mayor/menor que, son relaciones entre números, mientras que las relaciones familiares, como padre/hijo y hermano/hermana, son relaciones entre personas. Las relaciones que son reflexivas , simétricas y transitivas se conocen como relaciones de equivalencia .

Una relación, {eq}R {/eq}, es simétrica si siempre que incluye el par, {eq}(x,y) {/eq}, también incluye {eq}(y,x) {/eq}. Alternativamente, es antisimétrico si {eq}R {/eq}, incluyendo {eq}(x,y) {/eq}, significa que no incluye {eq}(y,x) {/eq}, a menos que {eq }x {/eq} y {eq}y {/eq} son iguales. Es asimétrico si {eq}R {/eq}, incluido {eq}(x,y) {/eq}, simplemente significa que no incluye {eq}(y,x) {/eq}.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador