Funciones de variación: definición y ejemplos

Funciones de variación

¿Alguna vez ha escuchado que después de comprar un automóvil, su valor comienza a bajar en el momento en que lo saca del lote? Si bien puede que no sea tan rápido, el valor de un automóvil definitivamente se deprecia más rápido de lo que nos gustaría. Considere un automóvil nuevo que cuesta $ 29,000. Ahora, suponga que el valor del automóvil se deprecia a una tasa de $ 2000 por año. Si este es el caso, la cantidad que deprecia el valor del automóvil se puede modelar usando la siguiente función:

D = 2000 x

donde D es la cantidad que se deprecia el valor del automóvil yx es el número de años que se ha tenido el automóvil desde que se compró nuevo.

En matemáticas, llamamos a la función D = 2000 x función de variación. Una función de variación es una función en la que las variables están relacionadas por cómo cambian entre sí. Por ejemplo, en esta función, si x aumenta o disminuye, D hace lo mismo. Hay dos tipos de funciones de variación, funciones de variación directa e inversa.

Variación directa

Comenzaremos con la variación directa ya que este es el tipo de variación que se modela con nuestra función de ejemplo de automóvil, D = 2000 x . Cuando se trata de variación directa , si una variable aumenta o disminuye, la otra variable hace lo mismo. En general, si una variable y varía directamente con una variable x , usamos la siguiente función de variación para representar esta relación:

y = kx

Que llamamos k la constante de variación . La gráfica de una función de variación directa es una línea. En nuestro ejemplo de automóvil, diríamos que D varía directamente con x y 2000 es la constante de variación. Debido a que la cantidad que se deprecia el valor del automóvil varía directamente con la cantidad de años que se ha tenido el automóvil, sabemos que cuanto más tiempo se tenga un automóvil, más se depreciará el valor del automóvil. Cuando graficamos nuestra función directa, D = 2000 x , la función es una línea.

Variación inversa

Ahora que estamos familiarizados con las funciones de variación directa, abordemos las funciones de variación que se ocupan de la variación inversa. En variación inversa , cuando una variable aumenta o disminuye, la otra variable hace lo contrario. Cuando decimos que una variable y varía inversamente con una variable x , usamos la siguiente función para representar esta relación:

y = k / x

Una vez más, k es la constante de variación. Los gráficos de funciones de variación que involucran variación inversa no son tan claros como una línea. Estos gráficos a veces se denominan funciones de mariposa porque se parecen un poco a dos alas de mariposa.

El gráfico que se muestra es el gráfico de la función de variación y = 1 / x . Esto puede considerarse la función principal de las funciones de variación inversa porque todos estos tipos de funciones pueden derivarse de esta función cambiando la constante de variación. En estos gráficos, llamamos las ‘alas’ a las ramas del gráfico. Otra característica de estos gráficos que vale la pena mencionar son las asíntotas del gráfico. Observe que la gráfica se acerca a las líneas x = 0 e y = 0, pero en realidad nunca las toca. Llamamos a estas líneas a las que un gráfico se acerca pero no toca las asíntotas. Existen en funciones de variación inversa porque la variable xestá en el denominador, y cuando x es igual a cero, la respuesta no está definida.

La variación inversa puede aparecer en nuestra vida diaria con la misma facilidad que la variación directa. Sin embargo, a menudo ocurre que solo consideramos una de las ramas de la función en un escenario del mundo real. Por ejemplo, suponga que está haciendo un divertido viaje por carretera de 300 millas con algunos amigos. Resulta que el tiempo que le toma hacer el viaje varía inversamente a la velocidad a la que conduce. Es decir, si dejamos que T sea ​​la cantidad de tiempo que se tarda en realizar el viaje yx la velocidad a la que conduce, entonces podemos representar la relación entre las dos variables con la siguiente función:

T = 300 / x

Vemos que T varía inversamente con xy 300 es la constante de variación. Esto nos dice que si conduce más rápido ( x aumenta), la cantidad de tiempo que se tarda en hacer el viaje se acorta ( T disminuye), o si conduce más lento ( x disminuye), entonces la cantidad de tiempo que se tarda en hacer el viaje se alarga ( T aumenta). En este escenario, solo consideramos valores positivos de x ya que no conducirá a una velocidad negativa, por lo que solo estamos tratando con una rama de la gráfica de la función.

Entonces, ¿cuál es la principal diferencia entre variación directa e inversa? Si dijiste que la principal diferencia es que en la variación directa las variables aumentan o disminuyen juntas mientras que, en la variación inversa, hacen lo contrario entre sí, entonces tienes razón. Es una buena idea tener esto en cuenta cuando se trabaja con funciones de variación.

Resumen de la lección

Las funciones de variación son funciones que representan variación directa e inversa. En variación directa , cuando una variable aumenta o disminuye, la otra hace lo mismo, y en variación inversa , cuando una variable aumenta o disminuye, la otra hace lo contrario.

• La función de variación que usamos cuando y varía directamente con x es y = kx
• La función de variación que usamos cuando y varía inversamente con x es y = k / x

En ambas funciones de variación, k se denomina constante de variación . Las funciones de variación pueden aparecer en muchas áreas temáticas, como ingeniería, física, astronomía, química o medicina. También hemos visto que este tipo de funciones pueden aparecer fácilmente en nuestra vida diaria. ¡Este es solo otro ejemplo del uso de las matemáticas en el mundo real!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador