Geometría hiperbólica: definición y postulados

La historia de la geometría

Hace poco más de 2.000 años, un matemático griego llamado Euclides escribió por primera vez el conjunto de definiciones y axiomas que ahora conocemos como geometría. En la geometría de Euclides, asumió que todas las superficies eran planas y elaboró ​​relaciones entre líneas y ángulos en superficies planas. Incluso hoy en día, la geometría euclidiana se utiliza para comprender la geometría de formas en superficies planas bidimensionales.

Por supuesto, sabemos que no todas las superficies son planas. ¿Qué le sucede a la geometría euclidiana cuando intenta aplicarla a una superficie curva? Algunas cosas pueden seguir siendo las mismas, pero algunos postulados de la geometría euclidiana ya no serán ciertos. Por ejemplo, considere el postulado paralelo de la geometría euclidiana. El postulado paralelo dice que si tienes una línea y un punto fuera de la línea, es posible dibujar solo una línea que pasará por el punto y también será paralela a la primera línea.

¿Qué es la geometría hiperbólica?

Si bien el postulado paralelo es ciertamente cierto en una superficie plana como una hoja de papel, piense en lo que sucedería si intentara aplicar el postulado paralelo a una superficie como esta:

Esta forma se conoce técnicamente como un paraboloide hiperbólico, pero se conoce comúnmente como forma de silla de montar. En una superficie con forma de silla de montar como esta, las líneas nunca serán rectas porque la superficie es curva. Por lo tanto, el postulado paralelo de Euclides no es cierto en esta superficie porque puede dibujar múltiples líneas a través de un solo punto, y aún así nunca cruzarán la línea original.

Cualquier sistema geométrico en el que se viole el postulado paralelo se denomina geometría no euclidiana . La geometría de superficies en forma de silla de montar como esta es un tipo de geometría no euclidiana conocida como geometría hiperbólica .

Postulados de geometría hiperbólica

En muchos sentidos, la geometría hiperbólica es muy similar a la geometría euclidiana estándar. Sin embargo, hay algunos postulados clave que lo diferencian. Ya hemos visto que el postulado paralelo es diferente. En geometría hiperbólica, es posible tener dos o más líneas dibujadas a través de un solo punto que son todas paralelas a alguna otra línea.

Como resultado de la curvatura de las superficies hiperbólicas, también es cierto que los triángulos dibujados en una superficie como esta siempre tendrán ángulos interiores que suman menos de 180 grados, como en la imagen que estás viendo en la pantalla en este momento. Esto es diferente de la geometría euclidiana, donde los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman exactamente 180 grados.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo dibujado en una superficie hiperbólica como esta siempre será inferior a 180 grados.

El área de una forma dibujada en una superficie hiperbólica también será diferente de lo que sería si la misma forma se dibujara en una superficie plana. Por ejemplo, el área de un triángulo dibujado en una superficie hiperbólica tendrá un área más pequeña que el triángulo correspondiente dibujado en una superficie plana.

Aplicaciones de geometría hiperbólica

La geometría hiperbólica fue desarrollada por primera vez en el siglo XIX por matemáticos que intentaban probar el postulado paralelo utilizando los otros postulados de la geometría euclidiana. No lograron hacer eso, pero sus esfuerzos llevaron a la invención de un nuevo tipo de geometría.

Desde entonces, los matemáticos han continuado estudiando la geometría hiperbólica. Además de las aplicaciones puramente matemáticas de la geometría hiperbólica, también ha demostrado ser particularmente útil para comprender la gravedad y la relatividad especial.

Resumen de la lección

Cualquier sistema geométrico en el que se viole el postulado paralelo se denomina geometría no euclidiana . La geometría de las superficies en forma de silla de montar es un tipo de geometría no euclidiana conocida como geometría hiperbólica . La geometría hiperbólica viola el postulado paralelo de Euclides, pero no los otros postulados de la geometría euclidiana. En superficies hiperbólicas, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor de 180 grados, y las formas tendrán un área diferente cuando se dibujen en una superficie hiperbólica frente a una superficie plana.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador