Agrupar para factorizar ecuaciones cúbicas

Publicado el 22 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Ecuaciones cúbicas

Las ecuaciones cúbicas son similares a sus ecuaciones cuadráticas excepto que su grado más alto es tres en lugar de dos. Por ejemplo, 2 x ^ 3 + 4 x ^ 2 + x + 2 = 0 es un ejemplo de una ecuación cúbica. Fíjate en los tres pequeños que son tu máximo exponente.

A primera vista, parece que esta ecuación sería imposible de factorizar usando cualquiera de los métodos que usó para las ecuaciones cuadráticas. ¿Y sabes qué? Es verdad.

Las ecuaciones cúbicas están en una categoría completamente diferente y se requieren diferentes métodos para factorizarlas. Pero no se preocupe, no es tan difícil. Esta lección en video le enseñará uno de los métodos que puede usar para factorizar fácilmente algunas ecuaciones cúbicas. ¡Así que sigue mirando!

Método de agrupación

El método que aprenderemos a usar se llama método de agrupación . Implica factorizar grupos de dos términos para encontrar un factor común. Si ve cada término como una personita con cerebro, entonces puede pensar en este método como combinar dos cabezas juntas para ayudarlo a pensar aún mejor. ¿No son mejores dos cabezas que una? ¿No tendrás más poder cerebral?

Una vez que inicie este método, deberá hacer uso de las habilidades de factorización que ya conoce. Necesitará saber cómo buscar el máximo factor común y, luego, factorizarlo. También necesitará hacer uso de sus habilidades para factorizar cuadráticas. Si estás un poco oxidado con estos, tómate un tiempo ahora mismo para revisarlos. Puede pausar este video mientras lo revisa. Así que ahora, comencemos.

Ejemplo 1

Veremos dos ejemplos para ver cómo le ayuda este método de agrupación y por qué es como combinar dos cabezas para aumentar la capacidad intelectual.

Primero abordaremos la ecuación cúbica que vimos al comienzo de este video:
2 x ^ 3 + 4 x ^ 2 + x + 2 = 0.

El primer paso en el método de agrupación es separar los términos en grupos de dos. Piense en combinar dos cabezas. Usaremos paréntesis para marcar nuestros grupos. Separaremos nuestros grupos con signos más. Entonces, recuerde mantener el signo de cada término con ese término. (2 x ^ 3 + 4 x ^ 2) + ( x + 2) = 0 es lo que obtenemos después de agrupar.

Ahora vamos a factorizar cada grupo sacando el máximo factor común en cada uno. El primer grupo tiene un factor común máximo de 2 x ^ 2 que podemos eliminar. El segundo grupo no tiene uno que podamos sacar, por lo que permanece igual.

Obtenemos 2 x ^ 2 ( x + 2) + ( x + 2) = 0 después de factorizar nuestro máximo común denominador en cada uno. ¿Ves algo interesante aquí? ¡Así es! Tenemos un factor común de ( x + 2) en ambos grupos. Esto nos dice que podemos reescribir esto en forma de dos paréntesis multiplicados.

Uno de nuestros paréntesis es ( x + 2) y el otro está formado por los mayores factores comunes que sacamos. Dado que nuestro último grupo no tenía un factor común máximo, será uno. Recuerde mantener siempre el signo con cada término. No tenemos negativos aquí, pero si los tuviéramos, tendríamos cuidado de mantener cada signo negativo con el término adecuado.

Lo reescribimos como (2 x ^ 2 + 1) ( x + 2) = 0. Vemos que ahora tenemos una cuadrática en un paréntesis y un factor terminado en el otro. Ahora tenemos que preguntarnos si la cuadrática se puede factorizar más. Si usamos nuestras habilidades de factorización cuadrática para analizar esto, nuestra respuesta es no; ya no podemos factorizar esto. Eso significa que he terminado de factorizar. Entonces, mi respuesta es (2 x ^ 2 + 1) ( x + 2) = 0.

Ejemplo 2

Ahora probemos con otro ejemplo. Factoriza x ^ 3 + x ^ 2 – x – 1 = 0.

Vea si puede resolver esto por su cuenta. Pausa este video por un momento mientras lo resuelves y luego continúa para ver si lo has hecho bien.

Primero, agrupamos los términos de dos en dos: ( x ^ 3 + x ^ 2) + (- x – 1) = 0. Usamos un signo más para separar nuestros grupos y nos aseguramos de mantener el signo adecuado con cada término.

A continuación, factorizamos el máximo común divisor de cada grupo: x ^ 2 ( x + 1) – 1 ( x + 1) = 0. Lo reescribimos como dos conjuntos de paréntesis multiplicados juntos: ( x ^ 2 – 1) ( x + 1) = 0.

Ahora miramos nuestra cuadrática para ver si podemos factorizarla más. La respuesta es sí. Así que seguimos adelante y hacemos eso.

( x + 1) ( x – 1) ( x + 1) = 0. Ya hemos terminado ya que no podemos factorizar ninguno de estos más. Hemos terminado, pero podríamos reescribir esto de una manera diferente si quisiéramos.

Vemos que tenemos ( x + 1) dos veces, por lo que podemos combinarlos para convertirlos en ( x + 1) ^ 2. Entonces, podemos reescribir nuestra respuesta para que sea ( x + 1) ^ 2 * ( x – 1) = 0. De cualquier manera funcionará. Busque ambos cuando trabaje con problemas de opción múltiple, como se puede mostrar.

Resumen de la lección

Ahora, repasemos lo que hemos aprendido. Aprendimos que podemos factorizar ecuaciones cúbicas , ecuaciones cuyo grado más alto es tres, usando el método de agrupamiento , que implica factorizar grupos de dos términos para encontrar un factor común.

Si pensamos en cada término como una personita con una cabeza, entonces podemos pensar en el método de agrupación como combinar dos cabezas juntas para ayudarnos a factorizar de manera más inteligente.

Primero agrupamos formando nuestros grupos de dos términos usando paréntesis. Separamos cada conjunto de paréntesis con un término más. Nos aseguramos de mantener la señal adecuada con cada término.

Luego, factorizamos el máximo factor común en cada grupo. Si lo hicimos correctamente, entonces veremos que tenemos un factor común en ambos grupos.

A continuación, reescribimos nuestros mayores factores comunes en un par de paréntesis y nuestro factor común en otro par de paréntesis. Estos paréntesis se multiplicarán juntos.

A continuación, usamos lo que sabemos sobre factorización cuadrática para ver si podemos continuar factorizando. Una vez que ya no podamos factorizar, habremos terminado.

Los resultados del aprendizaje

Revise esta lección en video educativa para que pueda:

  • Factorizar una ecuación cúbica usando el método de agrupación
  • Separe los términos y elimine el máximo factor común en cada grupo.
  • Identificar y reescribir los mayores factores comunes.

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