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Analizar gráficas de funciones polinomiales

Publicado el 22 noviembre, 2020

Gráficos de funciones polinomiales

¿Has estado alguna vez en una montaña rusa? ¿Sabías que la trayectoria de una montaña rusa se puede representar mediante una función polinomial? Una función polinomial es una ecuación con múltiples términos que tiene variables y exponentes. Las gráficas de funciones polinomiales contienen mucha información. Podemos encontrar la información mirando la gráfica y la ecuación y podemos graficar el polinomio si nos dan la información o la ecuación.

función polinomial1

Al observar la gráfica podemos determinar el comportamiento final, ceros reales y no reales, si la gráfica es par o impar, y los extremos relativos.

El comportamiento final de una gráfica es lo que le sucede a los valores de y a medida que los valores de x se hacen más grandes y más pequeños, es decir, cuando x se acerca al infinito positivo y negativo.

Miramos a la izquierda y a la derecha del eje y y determinamos qué está sucediendo en nuestro gráfico. A la izquierda del eje x , x se hace más pequeño o se acerca al infinito negativo. El gráfico aumenta, por lo que y se hace más grande o se acerca al infinito positivo.

comportamiento final

A la derecha del eje y, los valores de x aumentan o se acercan al infinito positivo. La gráfica va hacia abajo, por lo que y se hace más pequeña o se acerca al infinito negativo.

comportamiento final

Los ceros de una función se refieren a los puntos donde la función f (x) es igual a cero. Estos también se denominan intersecciones con el eje x , los puntos donde la gráfica cruza el eje x.

ceros

Dado que dos de las intersecciones con x no se cruzan en puntos enteros, estamos aproximando esos ceros.

En este ejemplo, hay tres puntos donde la gráfica cruza el eje x. Debido a que hay tres intersecciones con el eje x, hay tres ceros reales. Un cero real es una intersección con el eje x de la gráfica. Esta gráfica es una función cúbica porque el exponente más alto es tres. Esto significa que hay tres ceros. Si no hubiera tres intersecciones con el eje x, tendríamos algunos ceros no reales. Un cero no real es una solución a la ecuación que es un número imaginario. El número de ceros totales, tanto reales como no reales, es el mismo que el exponente más alto de la función.

Al observar la gráfica, también podemos determinar si la función es par o impar. Una función par es una función que es simétrica con respecto al eje y. Eso significa que si doblamos nuestro gráfico a lo largo del eje y, coincidirá perfectamente.

incluso

La función roja es nuestra función original, mientras que la verde es la imagen reflejada. Como puede ver, las funciones roja y verde no se superponen. Debido a que no coinciden, esta función no es uniforme.

Una función impar es una función que es simétrica con respecto al origen. Simétrico con respecto al origen significa que si reflejamos el gráfico en el origen, cambiando los signos de todos nuestros puntos, los gráficos deberían coincidir perfectamente.

impar

Nuevamente, la función roja es nuestra función original y la verde es la imagen reflejada. ¿Coinciden perfectamente estas imágenes? La respuesta es no, ya que el verde se desplaza hacia la izquierda. Esta función no es ni par ni impar.

Podemos encontrar puntos en la gráfica llamados extremos. Hay dos tipos de extremos, mínimos y máximos. Los mínimos son los puntos bajos del gráfico. El mínimo puede ser absoluto o relativo. Un mínimo absoluto es el punto más bajo de todo el gráfico. Un mínimo relativo es un punto bajo en el gráfico, pero no el más bajo de todos los puntos del gráfico. Lo mismo ocurre con los máximos. El máximo absoluto se refiere al punto más alto en el gráfico, mientras que un máximo relativo es un punto alto en el gráfico, pero no el más alto de todos los puntos en el gráfico.

Esta función cúbica continúa haciéndose más grande y más pequeña como vimos en el comportamiento final. Dado que nunca terminará en la dirección positiva o negativa, no tendrá extremos absolutos. Sin embargo, tiene un máximo relativo y un mínimo relativo.

extrema

Dibujar el gráfico

¿Podemos esbozar la gráfica de un polinomio si se nos da esta información? Intentemos.

ejemplo 2

Comenzamos con las coordenadas de los ceros y los extremos porque podemos trazar esos puntos en la gráfica.

coordenadas

Veamos la otra información que se nos da. Sabemos que esta es una función uniforme. Eso significa que es simétrico con respecto al eje y. Cuando dibujamos nuestra gráfica, deberíamos poder doblarla en el eje y y hacer coincidir ambas mitades. Si observa nuestros puntos, puede ver que ya parece ser simétrico.

La otra información que se nos da es el comportamiento final. El comportamiento final establece que a medida que x se hace más pequeña, también lo hace y y que a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeña. Eso significa que este gráfico tiene flechas que apuntan hacia abajo en ambas direcciones.

grafico

Resumen de la lección

Las gráficas de funciones polinomiales nos proporcionan mucha información sobre esa función. Podemos encontrar lo siguiente mirando la gráfica y también podemos usar esta información para dibujar la gráfica de una función polinomial.

  • Comportamiento final : describe lo que sucede con los valores y cuando los valores x se acercan al infinito negativo y positivo
  • Ceros reales : las intersecciones con el eje x del gráfico, donde y = 0
  • Ceros no reales : ceros imaginarios que no se pueden ver en el gráfico
  • Funciones pares : funciones que son simétricas con respecto al eje y
  • Funciones impares : funciones que son simétricas con respecto al origen
  • Máximo relativo : un punto alto del gráfico
  • Máximo absoluto : el punto más alto del gráfico
  • Mínimo relativo : un punto bajo del gráfico
  • Mínimo absoluto : el punto más bajo del gráfico

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