Aplicación de las identidades de suma y diferencia

Publicado el 4 noviembre, 2020

Identidades de suma y diferencia

Ahora que sabe un poco sobre trigonometría y sus diversas funciones, es posible que se pregunte acerca de todos los problemas de trigonometría aparentemente difíciles que podría haber encontrado mientras hojeaba otros libros de matemáticas o visitaba varios sitios web de matemáticas. Bueno, ¡no temas! Le mostraré que algunos de esos problemas aparentemente difíciles no son tan difíciles después de todo.

En esta lección en video, le mostraré seis identidades de suma y diferencia . Estas son definiciones trigonométricas que muestran cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente de dos ángulos dados que puede usar para hacer su vida más fácil.

Piense en estas identidades como claves: si no tuviera la clave, tendría que separar o calcular todas y cada una de las partes del problema, pero con la clave, solo tiene un componente para desbloquear o calcular. ¿Estás listo para descubrir cuáles son estas seis claves? ¡Bueno! Deja que te enseñe:

suma y diferentes identidades

Los símbolos alfa y beta representan ángulos. Mira el lado izquierdo de las ecuaciones. ¿No son mucho más simples que el lado derecho de las ecuaciones? La forma en que estas identidades lo ayudan es si ve algo que se parezca al lado derecho, puede continuar y sustituir el lado izquierdo en el problema, ya que lo más probable es que pueda resolver el lado izquierdo en lugar del lado derecho. ¿Cómo puedes recordar estas identidades?

Busque patrones en estas identidades que pueda recordar fácilmente. Por ejemplo, los signos más y menos de las identidades del seno son los mismos en ambos lados de la ecuación, mientras que los signos más y menos son opuestos para las identidades del coseno. La tangente tiene signos más y menos coincidentes en el numerador y signos opuestos en el denominador. ¿Qué otros patrones ves?

Ahora que hemos cubierto nuestras identidades, necesitamos pensar en nuestro círculo unitario , un círculo con un radio de 1. Con la mayoría de los problemas trigonométricos que son así de complicados, lo más probable es que trabajes con el círculo unitario en grados o radianes. En mi experiencia, la medida en radianes de los ángulos se ve con mayor frecuencia. Para ayudarlo a refrescar su memoria del círculo unitario, aquí hay dos círculos unitarios: uno para grados y otro para radianes:

suma y diferentes identidades

suma y diferentes identidades

Recuerde que para usar estos círculos unitarios, busque su ángulo dentro del círculo y luego consulte el punto en el círculo para su respuesta. Los puntos te dan la respuesta para las funciones coseno y seno para ese ángulo. La parte x es el coseno del ángulo y la parte y es el seno del ángulo.

Por ejemplo, mirando el ángulo 5pi sobre 3, vemos que nuestro punto es (la mitad, raíz cuadrada negativa de 3 dividida por 2). Entonces, esto significa que para este ángulo, el coseno es igual a la mitad y el seno es igual menos la raíz cuadrada de 3 sobre 2. Además, recuerda que dado que la tangente es igual al seno dividido por el coseno, también puedes usar fácilmente el círculo unitario para encontrar tu valores de tangente.

Ejemplo 1

Veamos cómo podemos usar nuestras identidades y nuestro círculo unitario para responder algunos problemas aparentemente difíciles. Primero, tenemos este problema:

suma y diferentes identidades

A primera vista, este problema parece complicado. Miras tus ángulos; están escritos en radianes. Miras tu círculo unitario y no ves pi sobre 12 en ninguna parte. Podrías seguir adelante y marcar todo esto en tu calculadora, pero obtendrías una serie completa de números.

¿Qué más puede hacer para obtener una respuesta más exacta? ¡Ah, tus identidades! Sí, miras esto por un rato, y luego te das cuenta de que esta es la identidad suma para la función seno. Su ángulo alfa es pi sobre 12 y su ángulo beta también es pi sobre 12.

La identidad le dice que toda esta cadena simplemente es igual al seno del ángulo alfa más el ángulo beta. Entonces, tenemos el seno de pi sobre 12 más pi sobre 12. Esto es igual al seno de 2pi sobre 12, lo que se simplifica al seno de pi sobre 6.

Ahora, miras tu círculo unitario de nuevo y ¡he aquí! Ahí está tu pi sobre 6 ángulos. Tu seno es la parte y del punto. ¿Qué es igual? Es igual a la mitad. Nuestra respuesta es la mitad. ¡Hurra!

Ejemplo 2

Veamos otro:

suma y diferentes identidades

Este también parece complicado a primera vista. Ves los ángulos enumerados en el círculo unitario, pero ¿hay una manera más fácil de resolver este problema? ¡Sí hay! Vuelve a sus identidades. ¡Ajá! Esta identidad es para la suma de cosenos.

Toda esta cuerda es igual al coseno del ángulo alfa más el ángulo beta. El ángulo alfa es igual a pi sobre 6, y el ángulo beta es igual a pi sobre 3. El ángulo alfa más el ángulo beta es igual a pi sobre 2, entonces.

Entonces, todo lo que necesitamos calcular para encontrar nuestra respuesta es el coseno de pi sobre 2. Observamos nuestro círculo unitario y encontramos nuestro ángulo pi sobre 2. ¿Cuál es nuestro coseno en este punto? Es 0. Nuestra respuesta es simplemente 0. ¡Muy bonito!

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que nuestras identidades de suma y diferencia son definiciones trigonométricas que muestran cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente de dos ángulos dados. Hay seis de ellos en total: dos para el seno, dos para el coseno y dos para la tangente. Los recordamos mirando sus patrones. Aquí está la lista de ellos nuevamente:

suma y diferentes identidades

Los usamos junto con el círculo unitario , nuestro círculo de radio 1. En nuestro círculo unitario, hemos etiquetado ciertos ángulos que tienen respuestas fáciles. Lo que suele suceder con estas identidades es que una vez que sumas o restas los ángulos alfa y beta, obtendrás un ángulo que está en el círculo unitario. Una vez que esté en este punto, puede encontrar fácilmente su respuesta consultando el círculo unitario.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, podrá:

  • Definir identidades de suma y diferencia y círculo unitario
  • Identificar las seis identidades de suma y diferencia.
  • Explica cómo usar las identidades de suma y diferencia junto con el círculo unitario para resolver fácilmente problemas de trigonometría complicados.

¡Puntúa este artículo!