Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales al punto de equilibrio: pasos y ejemplo

Publicado el 22 noviembre, 2020

Modelos lineales y limones

Max quiere abrir su propio puesto de limonada. Le cuesta $ 3 hacer cada taza de limonada, además tiene que pagar una tarifa de inquilino de $ 25 por su puesto. Vende la limonada a $ 5 la taza. Max quiere saber cuántas tazas de limonada tiene que vender antes de poder comenzar a obtener ganancias.

Punto de equilibrio

Max necesita encontrar su punto de equilibrio. En álgebra, el punto de equilibrio es el punto donde se cruzan dos funciones lineales. En marketing, este punto representa el punto en el que los productos no generan ganancias ni incurren en pérdidas. Para que Max comience a obtener ganancias, necesita encontrar su punto de equilibrio utilizando dos funciones lineales: función de costo y función de ingresos .

La función de costo es la función lineal que representa el costo de vendedor de un producto. Max gasta $ 3 en la producción de cada taza de limonada y tiene una tarifa de inquilino por su puesto. Podemos usar esta información para crear nuestra primera función lineal. La función de costo es C (x) = mx + b . Quizás reconozcas esto como la fórmula pendiente-intersección en álgebra.

En esta función, C (x) es el costo total del producto. Por eso se llama función de costo. El m es el costo variable, que en este caso es $ 3. La razón por la que m se considera el costo variable es porque depende de cuántas tazas de limonada esté haciendo Max. También es una variable porque, dependiendo del producto, el costo del producto puede cambiar potencialmente. Por ejemplo, si Max está preparando 10 tazas de limonada, entonces le costará $ 30, sin incluir el costo de la tarifa de inquilino.

El b o y intercepción en esta función representa el costo fijo. Este es el costo que no cambia independientemente de cuántas tazas de limonada haga Max. En este caso, el costo fijo sería la tarifa de arrendamiento de Max. Por lo tanto, nuestra función de costo se vería así: C (x) = 3 x + 25, y nuestra gráfica se vería así.

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¡Aún no hemos terminado! Conocemos el costo del producto, pero no sabemos cuánto puede ganar Max con el producto. Podemos encontrar esta información usando la función de ingresos , que es la función lineal que representa el ingreso bruto del vendedor de un producto. La función de ingresos es R (x) = xp , donde x es el número de artículos vendidos yp es el precio por artículo. Este ingreso es solo la cantidad que Max obtiene en total del producto. En este caso, Max vende cada taza de limonada por $ 5. Por lo tanto, nuestra función de ingresos se vería así: R (x) = x * 5, y nuestro gráfico ahora se vería así.

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Puede encontrar el punto de equilibrio de dos funciones lineales de forma gráfica o algebraica. Eche un vistazo a nuestro gráfico final.

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¿Ves dónde se cruzan las dos líneas? Este es el punto de equilibrio y literalmente donde Max alcanzará el punto de equilibrio en su negocio de limonada. Todo lo que está a la izquierda de este punto, entre las dos líneas, representa una pérdida, y todo lo que está a la derecha de este punto, entre las dos líneas, representa una ganancia. Estas dos líneas se cruzan en el punto (12,5, 62,5). Por lo tanto, Max debe vender 12.5 tazas de limonada antes de poder obtener ganancias. El 62.5 es el costo total: 12.5 tazas de limonada cuestan $ 37.50 más la tarifa de arrendamiento de $ 25.

Max también quiere encontrar su punto de equilibrio algebraicamente. Recuerda que x es la cantidad de artículos vendidos. Por lo tanto, podemos establecer la función de costo igual a la función de ingresos, así – 3 x + 25 = 5 x – y resolver para x .

3 x + 25 = 5 x
12,5 = x

Puede volver a poner 12.5 en una de las funciones para encontrar el costo total de Max:

R (x) = 12,5 (5)
R (x) = 62,5

Max tendrá que vender 12,5 tazas de limonada para cubrir los gastos y le costará $ 62,50.

Resumen de la lección

Max ha aprendido mucho sobre el precio de un producto. Primero, tenía que encontrar el punto de equilibrio de su producto, que es el punto donde se cruzan dos funciones lineales y, en marketing, representa el punto donde los productos ni generan ganancias ni incurren en pérdidas. Encontró el punto de equilibrio utilizando la función de costos y la función de ingresos de su limonada. La función de costo es la función lineal que representa el costo del vendedor de un producto, mientras que la función de ingresos es la función lineal que representa el ingreso bruto del vendedor de un producto. Ahora Max sabe exactamente cuánta limonada necesita vender para obtener ganancias.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine de ver esta lección, puede:

  • Definir el punto de equilibrio y la función de costos e ingresos
  • Calcule la función de costos e ingresos y el punto de equilibrio de un producto

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