Calcular la probabilidad binomial: fórmula y ejemplos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Probabilidad binomial

Digamos que su jugadora estrella de baloncesto tiene un 65% de precisión con sus tiros de tres puntos de largo alcance. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga éxito en 4 de sus próximos 5 intentos?

Matemáticamente, esto se responde calculando una probabilidad binomial , que es la probabilidad de un número exacto de éxitos en una serie de intentos repetidos en un experimento que puede tener solo dos resultados. Expliquemos la fórmula de probabilidad binomial y hagamos varios ejemplos para mostrar cómo usarla.

Hay algunos ingredientes clave para este tipo de probabilidad. Primero, debemos tener un número fijo de ensayos ( N ). En el ejemplo del tiro de tres puntos, N es igual a 5. Cada uno de estos intentos debe ser independiente. Hacer el tiro actual es independiente de cualquier otro intento. Entonces, tenemos que tener dos y solo dos resultados posibles. El tiro de baloncesto tiene éxito o no. Ahí es donde entra el prefijo ‘bi-‘ en la palabra ‘binomio’.

Tenemos que acordar cuál es el resultado del éxito. Esta es una terminología importante, aunque más adelante veremos un ejemplo en el que el resultado de “éxito” no es beneficioso. También tenemos que pedir un cierto número de aciertos ( k ) del total de ensayos. En nuestro ejemplo, k es igual a 4 éxitos. Finalmente, necesitamos la probabilidad de éxito ( p ). En nuestro ejemplo, esto fue el 65%, que escribiremos como p = 0,65. La fórmula de probabilidad binomial se escribe de la siguiente manera:

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Leemos esto como la probabilidad de k éxitos de N ensayos dado que la probabilidad de un éxito es p . ¿Cuál es la q en esta ecuación? Esta es la probabilidad de falla ( q ). Dado que solo tenemos dos resultados, la probabilidad de éxito más la probabilidad de fracaso es igual a uno. Por tanto, q es 1 – p . En nuestro ejemplo de baloncesto, la probabilidad de falla es 1 – p = 1 – 0,65 = 0,35.

El término con paréntesis grandes se llama coeficiente binomial , o el número de combinaciones de N toma k . Se calcula en general como:

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Para este ejemplo, se calcula como:

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El signo de exclamación significa factorial, ¡y se calcula como N ! = N ( N – 1) ( N – 2)… 1. ¡Entonces, 5! = 5 (4) (3) (2) (1) = 120. ¡Recuerde que 0! = 1.

Por lo tanto, la probabilidad de que nuestro jugador de baloncesto haga 4 de los siguientes 5 tiros de tres puntos es:

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¡Lo cual es muy bueno!

Éxito no deseable

Digamos que tenemos un nuevo producto de champú y queremos la probabilidad de que en una selección aleatoria de 5 personas, 2 de ellas experimenten cierta irritación en el cuero cabelludo. Anteriormente determinamos que este champú causa irritación del cuero cabelludo en el 1% de las personas que lo usan.

¿Es este un escenario de probabilidad binomial? Necesitamos un número finito de ensayos independientes, dos resultados y una probabilidad conocida para uno de los resultados. Se ve bien. Hay N = 5 ensayos. Aunque no es un resultado deseable, el “éxito” en este ejemplo es la irritación del cuero cabelludo. Los juicios son independientes. Una persona que tiene irritación del cuero cabelludo no influye en el resultado de otra persona. Sabemos que la probabilidad de éxito es del 1%. Por tanto, p = 0,01 yq = 0,99. Así,

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Ampliando la idea

¿Qué pasaría si tuviéramos una panadería donde se rechazara el pan si el pan estaba demasiado cocido o poco cocido? En promedio, la probabilidad de un rechazo es del 1%. Así es como podemos ampliar fácilmente nuestros ejemplos de la fórmula de probabilidad binomial. Podríamos preguntar la probabilidad de que en un lote de 100 panes no haya más de 2 rechazos. Eso significa que estamos viendo 3 eventos:

N = 100 toma 0
N = 100 toma 1 y
N = 100 toma 2

Nuestra respuesta es la suma de las probabilidades de cada uno de estos tres eventos. Es decir:

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Por lo tanto, tenemos un 92% de probabilidad de que en un lote de 100 panes, no se rechacen más de 2.

Resumen de la lección

Una probabilidad binomial es la probabilidad de un número exacto de éxitos en una serie de ensayos repetidos en un experimento que puede tener solo dos resultados. Según la definición, una de las condiciones para usar la probabilidad binomial es que solo tengamos dos resultados. A uno de estos resultados lo llamamos éxito y al otro fracaso. Necesitamos conocer la probabilidad de uno de estos resultados. Entonces, de un número fijo de N ensayos, podemos preguntar cuál es la probabilidad de que ocurran k éxitos independientes. La fórmula para calcular la probabilidad binomial es:

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