Los coeficientes binomiales
La forma más sencilla de explicar qué son los coeficientes binomiales es decir que cuentan determinadas formas de agrupar elementos. Específicamente, el coeficiente binomial C ( n , k ) cuenta el número de formas de formar una colección desordenada de k elementos elegidos de una colección de n elementos distintos.
Por ejemplo, si quisiera formar un comité de 2 personas a partir de un grupo de cuatro personas, la cantidad de formas de hacerlo es C (4, 2). Por cierto, hay 6 formas: simplemente etiquete las personas A, B, C, D y enumere todos los conjuntos de dos letras: AB, AC, AD, BC, BD y CD (recuerde, el orden no importa, así que BA no es diferente de AB). Entonces, ahora sabemos que C (4, 2) = 6.
Se utilizan muchas notaciones diferentes para los coeficientes binomiales. Todos estos son equivalentes a C ( n , k ) y se pueden leer como: n elija k . La última notación (la que se parece un poco a una fracción) es la que se utiliza con más frecuencia, aunque verá C ( n , k ) con bastante frecuencia, porque es más fácil de escribir.
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Fórmula para coeficientes binomiales
Bien, entonces, ¿cómo calculamos los coeficientes binomiales? Como habrás adivinado, existe una fórmula:
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Los signos de exclamación son en realidad parte de la fórmula (y no significan que los números estén emocionados). La notación n ! se llama factorial de n , y significa multiplicar n por ( n – 1) por ( n – 2), por cada número entero hasta 1. Por ejemplo, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Solo tenga cuidado con un caso especial: 0! = 1, por definición.
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Por otro lado, la mayoría de la gente terminará usando la segunda forma de la fórmula, en la que las multiplicaciones se escriben de manera más explícita (y ya se ha hecho alguna cancelación). Practiquemos el uso de ambas versiones de la fórmula.
Ejemplo 1
Calcule C (7,3) de dos formas diferentes.
Tenemos n = 7 y k = 3, y estamos calculando 7, elija 3.
Usando factoriales:
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Para usar la fórmula de acceso directo, primero averigüe el valor de ( n – k + 1), que es (7 – 3 + 1), que es 5. Este será el último factor en la parte superior (o en el numerador) de la fracción. Por cierto, siempre habrá el mismo número de factores en la parte superior (numerador) que en la parte inferior (denominador).
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Por cierto, esto significa que hay exactamente 35 formas de formar un comité de 3 personas a partir de un grupo de 7 personas.
Triángulo de Pascal
De acuerdo, quizás no te gusten las fórmulas. Hay otra forma más de encontrar los coeficientes binomiales. ¿Alguna vez has oído hablar del triángulo de Pascal ? Esta es la matriz de números formada al comenzar en la parte superior con un 1. Luego, coloque unos a lo largo de la diagonal izquierda y derecha desde el primer 1. Finalmente, cada número restante se encuentra sumando los dos números inmediatamente arriba del número de la izquierda y a la derecha.
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Ahora bien, la forma en que debes contar filas es un poco extraña. Empiece siempre con 0. Así que, si bien podría pensar en la parte superior como la fila 1, en realidad es la fila 0. Entonces la fila 1 tiene un par de unos, mientras que la fila 2 tiene los números 1, 2, 1. Siempre puede saber cuál fila que está mirando por el segundo número en ella.
Entonces, ¿cómo usamos esto para calcular coeficientes binomiales? Resulta que la fila n tiene todos los valores del coeficiente binomial para n, elija k . Para encontrar el valor de C ( n , k ), simplemente cuente hasta la posición k (nuevamente, comience su conteo con 0).
Por ejemplo, para encontrar 7, elija 3, busque la fila 7 (aunque parezca la octava fila hacia abajo) y cuente. . . 0.. . 1.. . 2.. . 3 espacios, para encontrar el valor 35.
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Un ejemplo de conteo de cartas
¿Cuántas manos de póquer de 5 cartas diferentes hay? Bueno, necesitamos saber que hay exactamente 52 cartas (sin contar los comodines) en una baraja de póquer estándar. Una vez que las cartas están en su mano, no importa en qué orden las coloque, por lo que este es exactamente el tipo de problema correcto para los coeficientes binomiales. Tenemos que calcular 52 y elegir 5.
Ahora, en este caso, debemos usar la fórmula del atajo, ¡porque 52! es un número tan grande que la mayoría de las calculadoras no pueden almacenarlo correctamente. Tenga en cuenta que n – k + 1 = 52 – 5 + 1 = 48, que será el último factor en la parte superior.
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¡Hay 2.598.960 manos de póquer diferentes!
Resumen de la lección
El coeficiente binomial C ( n , k ), leído n elija k , cuenta el número de formas de formar una colección desordenada de k elementos elegidos de una colección de n elementos distintos. Hay dos fórmulas equivalentes para los coeficientes binomiales, una con factoriales y otra escrita explícitamente; o puede usar el triángulo de Pascal para encontrar los valores.
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