Combinación: definición, fórmula y ejemplos

Combinaciones y permutaciones

En matemáticas, las combinaciones y permutaciones normalmente se estudian al mismo tiempo porque son muy similares. Por ejemplo, tanto las permutaciones como las combinaciones son colecciones de objetos. Pero mientras que una combinación es una colección de objetos donde el orden no importa, una permutación es una disposición de un grupo de objetos donde el orden sí importa.

Por ejemplo, suponga que debe elegir cuatro de un grupo de 20 personas: Andrea, Alex, Sophie y Nathan. Si dijéramos que eligió a Alex, Nathan, Sophie y Andrea, todavía estaríamos hablando del mismo grupo de personas. Como el orden en el que los nombramos no importa, nos referiríamos a una combinación de cuatro personas.

Ahora, imagine que su empleador le acaba de asignar el siguiente código de identificación de empleado de 4 dígitos: 4793. Si cambiamos el orden de los dígitos a 9734, terminaríamos con un número de identificación diferente. Como el orden de los dígitos sí importa, 4793 es una permutación de cuatro dígitos.

Notación factorial

Antes de entrar en las fórmulas de combinación, primero debemos hablar sobre n !, No de una manera excitada, lo que puede haber asumido a partir del signo de exclamación, sino en un contexto matemático. En matemáticas, n !, Que se pronuncia n factorial, representa el producto de todos los números enteros desde n hasta 1, como se muestra en la siguiente imagen:

Por ejemplo, 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. ¡Usaremos n ! mucho cuando se trata de permutaciones y combinaciones.

Fórmulas de combinación

Cuando se trata de fórmulas de combinación, hay dos escenarios que queremos considerar:

1. Se permite la repetición
2. No se permite la repetición

Para comprender lo que significan estos escenarios, revisemos el grupo de personas que discutimos al comienzo de la lección. Imagina que Alex fuera el primero de los cuatro que elegimos para formar parte de nuestro grupo. Una vez que hayamos elegido a Alex, no podemos volver a elegirlo porque ya está en el grupo. Entonces, en este escenario, no se permite la repetición.

Ahora, imagina que estás en un bar de sushi que ofrece 11 tipos diferentes de sushi, de los cuales puedes elegir tres. Suponga que el primer tipo de sushi que elige es el salmón. Como el menú le permite tener 3 piezas de sushi, su segunda y tercera opción también podría ser el salmón. En este escenario, se permite la repetición.

Es importante comprender si se permite o no la repetición al determinar qué fórmula usar al resolver problemas de combinación. Las fórmulas que usamos cuando tratamos con combinaciones se describen en la siguiente imagen:

Resolver problemas de combinación

Para resolver problemas que involucran combinaciones, seguimos estos pasos:

1. Asegúrese de estar lidiando con un problema de combinación, donde el orden no importa y no un problema de permutación
2. Determinar si se permite la repetición
3. Utilice la fórmula adecuada según lo que encontró en el segundo paso
4. Sustituya los valores de la fórmula por números conocidos y realice las operaciones

Veamos cómo se aplican estos pasos al grupo de cuatro personas que elegimos anteriormente en la lección. ¿De cuántas formas diferentes podemos elegirlos?

1. Sabemos que el orden de las cuatro personas no importa, así que estamos tratando con una combinación, no una permutación.

2. También sabemos que, en este escenario, no se permite la repetición.

3. Aquí, estamos trabajando con una combinación que no permite la repetición, por lo que usamos esta fórmula:

n ! / r ! ( n – r )!

4. Como elegimos 4 de 20 personas, r = 4 yn = 20. Entonces:
¡20! / 4! (20 – 4)! = 20! / 4! 16! = 20 * 19 * 18 * 17/4 * 3 * 2 * 1 = 4.845

Hay 4.845 formas de elegir un grupo de cuatro personas entre 20 personas.

Ahora, echemos otro vistazo a nuestro plato de sushi, donde se permite la repetición. Como podemos elegir 3 de entre 11 tipos de sushi, ¿cuántos platos diferentes podemos pedir?

1. Sabemos que el orden en el que elegimos nuestras tres piezas de sushi no importa, así que nuevamente, estamos trabajando con una combinación.

2. Ya vimos que, en este escenario, se permite la repetición.

3. Aquí, estamos trabajando con una fórmula de combinación en la que se permite la repetición, por lo que usamos esta fórmula:

( n + r – 1)! / r ! ( n – 1)!

4. Como elegimos 3 de 11 piezas de sushi, n = 11 y r = 3. Entonces:

(11 + 3 – 1)! / 3! (11 – 1)! = 13! / 3! 10! = 13 * 12 * 11/3 * 2 * 1 = 286

Por tanto, podemos combinar 3 piezas de sushi de 286 formas diferentes cuando hay 11 piezas para elegir y se permite la repetición.

Resumen de la lección

Una combinación es un grupo de objetos en el que el orden no importa, a diferencia de una permutación , que es una disposición de un grupo de objetos donde el orden sí importa. ¡Otra cosa para recordar para resolver combinaciones es n ! En matemáticas, n ! se pronuncia n factorial y representa el producto de todos los números enteros desde n hasta 1. Un ejemplo de esto sería: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

Al resolver problemas de combinación, su primer paso es determinar si el orden es importante para asegurarse de que está tratando con una combinación. A continuación, determina si la repetición está permitida o no.

Si no se permite la repetición, use esta fórmula:
n ! / r ! ( n – r )!

Si se permite la repetición, use esta fórmula:
( n + r – 1)! / r ! ( n – 1)!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador